数据结构算法复杂度详解

算法复杂度问题

引例

第一种算法：(1+(n+1)+n)=2n+2次

int i,sum=0,n=100;      //执行1次
for(i=1;i<=n;i++){      //   执行n+1词
    sum+=i;             //执行n次
}

第二种算法： 1+1=2次

int sum=0,n=100;        //执行1次
sum=(1+n)*n/2;          //执行1次

如果我们把循环看作一个整体，忽略头尾判断的开销，那么这两个算法就是n和1的差距；
算法的复杂度，我们侧重的是研究算法随着输入规模的扩大增长量的一个抽象，而不是精确的定位执行了多少次；

列：

int i,j,x=0,sum=0,n=100;
for(i=1;i<=n;i++){      //执行n+1次
    for(j=1;j<=n;j++){  //当外层i每执行1次，内层j执行n+1次
        x++;            //执行n次
        sum=sum+x;
    }
}

此算法的复杂度就为$n^{{2}$,也就是$100}2$次；

我们在分析算法的运行时间时，重要的是把基本操作的数量和输入模式关联起来。

时间复杂度的定义： 在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况确定T(n)的数量级。
算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。
它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

通用攻略：

用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
如果最高阶项存在且不是1，则除去与这个项相乘的常数。
得到的最后结果就是大O阶。

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常数阶

int sum=o,n=100;
printf("第一条");
printf("第二条");
printf("第三条");
printf("第四条");
printf("第五条");
printf("第六条");
sum = (i+1)*n/2;    //只有这一句影响了n

因为T(n)是关于问题规模n的函数，所以时间复杂度为：O(1) ；

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线性阶

int n=100;      
for(int i=1;i < n;i++){     
    printf("hello guys");   //执行n次          
}

因为循环体中的代码需要执行n次，所以时间复杂度为：O(n) ；

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平方阶(1)

int n=100;
for(int i=0;i < n;i++){         //执行n次
    for(int j=0;j < n;j++){     //执行n*n次
        printf("hello guys");
    }
}

因为循环体中的代码需要执行n*n次，所以时间复杂度为：O($n^{2}$) ；

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平方阶(2)

int n=100;
for(int i=0;i< n;i++){          //执行n次
    for(int j=i;j< n;j++){      //当i=n时，j执行n-1次
        printf("hello guys");
    }
}

分析：

内循环总的执行次数应该是：
$-n+(n-1)+(n-2)+...+1=frac{n(n+1)}{2}$
$frac{n(n+1)}{2}=frac{n^2}{2}+frac{n}{2}$

根据大O攻略:
第一条忽略，因为没有常数相加。
第二条只保留最高项，所以$frac{n}{2}$去掉。
第三条，去除与最高项相乘的常数，最终得O($n^{2}$)。

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对数阶

int n=100;
while(int i<n){
    i=i*2;
}

由于$2^{{x}=n$得到$x=log_2}{n}$,所以，这个循环的时间复杂度为O($log{n}$)。

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函数时间复杂度分析

int n=100;
for(int i=0;i< n;i++){
    function(i);
}
void function(int count){
    printf("hello guys");
}

函数的复杂度是O(1),而for循环的调用，所以时间复杂度是O(n)。

int n++;
function(n);

for(int i=0;i< n;i++){
    function(i);
}
for(int i=0;i< n;i++){
    for(j=i;j< n;j++){
        printf("hello guys");
    }
}
void function(int count){
    printf("hello guys");
}

$1$+$1$+$n$+$n^{2}$=**O($n{2}$)**

总结：

O(1) < O($log{n}$) < (n) < O($nlog{n}$) < O($n^2$) < O($n^3$) < O($2^n$) < O($n!$) < O($n^n$)