话说min-max容斥的题真的多，所以来学一下。
假设先给每一个点一个$val$，我们想求一个集合$|S|$的$maxleft { iepsilon S,val_{i} ight }$ 。
则$max(S)=sum_{Tepsilon S} (-1)^{|T|+1}*min(T)$。
一个在$S$中$rank$为$k$的点前面的系数:$sum_{i=0}^{|S|-k}(-1)^i*inom{|S|-k}{i}=(1-1)^{|S|-k}$。
然后就是只有$max$系数为1，剩下都是0了。
然后期望概率用到这个东西，因为期望可以理解为所有情况的一个综合，所以相当于统计了所有的情况。
还有kth min-max容斥。
就是$kthmax(S)$等于啥的问题。
首先我们设$kthmax(S)=sum_{Tepsilon S}f(|T|-1)*min(T)$，$f(x)$代表$x+1$个点的系数。（因为min好求所以才这么设的式子吧。。。）
设第n大(标号从0开始)，$[n==kth]=g(n)=sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}*f(i)$。
要用二项式反演，就是$g(n)=sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}*f(i) ightarrow f(n)=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}*inom{n}{i}$。
得到$f(n)=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}*inom{n}{i}*g(i)=(-1)^{n+kth}*inom{n}{kth}$。
所以$kthmax(S)=sum_{Tepsilon S}(-1)^{|T|+kth-1}*inom{|T|-1}{kth}*min(T)$。