次小生成树

借鉴博客： https://www.cnblogs.com/Howe-Young/p/4911992.html

https://www.cnblogs.com/bianjunting/p/10829212.html

借鉴视频：https://www.bilibili.com/video/BV1CC4y1a7kD?from=search&seid=17813568887618384754

一，定义

权值第 2 小的生成树。

广义上 次小生成树 可以和 最小生成树 权值一样

严格上 次小生成树 不能和 最小生成树 权值一样

二，前提知识 

1，最小瓶颈生成树

① 定义： 给出加权无向图，求一棵生成树，使得最大边权值尽可能小

② 算法：从一个空图开始，按照权值从小到大的顺序依次加入各条边，则图第一次连通时，

该图的最小生成树就是最小瓶颈生成树。

③ 结论：由 Kruskal 算法求出的 最小生成树 即为 最小瓶颈生成树

2，最小瓶颈路

① 定义：给出加权无向图的两个结点 u 和 v，求出从 u 到 v 的一条路径，使得路径上的最长边尽量短。

② 算法：用 Kruskal 算法求出最小生成树，则树上 u 到 v 的路径就是我们要找的路径，路径上的最长边就是答案

③ 反证法：假设该路径 不是 最小生成树上的路径，则原图 u 到 v上必然存在一条路径，满足 两条路径不一样

且 原图上的路径的最长边 必然小于 最小生成树的最长边 ，这与 Kruskal 算法违背，则假设不成立，算法得证。

3，每对节点间的最小瓶颈路

给出加权无向图，求每两个结点 u 和 v 之间的最小瓶颈路 的最大边长 f( u,v )

 解法 ①：先求出 最小生成树，用 DFS 遍历这个树，当访问一个节点时 u 时，考虑所有已经访问过的 结点 x ，

更新 f(x,u) = max(f(x,v),w(v,u))，其中 v 是 u 的父结点，每个 f(u,v) 只需要常数时间计算，因此时间复杂度为 O(n2)。

这里 将路径 x->u 分成两部分，

一是 x->v , 这里 f(x,v),  代表 x->v 路径上的最大边长，

一是 v->u , 这里 w(v,u),代表 边 v-u  的权值，

这两部分中的较大值自然就是 路径 x->u 中的最大边权值。

易得，当 x,u 代表的只有一条边时，f(x,u) 应该等于 w(v,u)，所以 f() 应该 初始化为最小值或者 0

解法 ②：用树上倍增的方法，统计每个点到 2的 j 次方 层祖先的最大距离

4，可行交换与临集

① T 为图G 的一棵生成树，对于非树边a 和 树边b，插入 边a 并且删除 边b 的操作记为 （+a,-b）

如果 T+a-b 仍然是 一棵生成树，称（+a,-b）是一个可行交换

② 由 T 进行一次 可行交换 后得到的 新生成树 的集合 称为 T的临集

③ 定理：次小生成树在最小生成树的临集中

粗略证明：因为 最小生成树 已然是最小代价的边权和，所以每次多一条边不一样，则代价必然增加，所以只改变一条边是代价最小的方法了，

大概吧 ε=ε=ε=ε=ε=ε=┌(;￣◇￣)┘

三，算法

算法 ①：次小生成树 不会与 最小生成树相同，因此可以枚举 最小生成树 中的一条边，将 该边 认为不会在 次小生成树 中出现，

然后在剩下的边里，求一次 最小生成树。注意 最小生成树只有 n-1 条边，所以只需要枚举 n-1 次。

这种算法 需要求 n 次最小生成树，时间复杂度挺大的，不推荐。

算法 ②：

1.先求出来最小生成树。在求 最小生成树 的时候一并将 最小生成树任意两点之间路径当中的权值最大的那一条 求出来。

2.尝试添加最小生成树外的每一条边，删除上面找到的边。其中的权值最小的就是次小生成树。

why?

原来 最小生成树加入一条边 (为什么是一条边呢？见上面的临集) 之后一定构成了回路，所以如果说 加入了边  ij , 此时 i 到 j 有两条路，这两条路构成一个回路，

要想构成生成树的话，必然删除这条回路上的边，要想和原来不一样且最小，则必然要删除原先 最小生成树上 i 到 j 路径中的最大边。

四，代码

Prim  

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define MIN(x,y) (x<y?x:y)
#define MAX(x,y) (x>y?x:y)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define N 105
int a[N][N];    //邻接矩阵存图
int f[N][N];  //表示最小生成树中 i 到 j 的最大边权
int used[N][N]; //  TE ，最小生成树的边集
int p[N];      // 路径       
int dis[N];    // 集合 u 到 i 的最短距离
bool vis[N];   // 标记集合 u 的点
int n, m;       // m 是边数， n 是点数
void init()
{
    mem(a, 0x3f);
    mem(p, 0);
    mem(vis, 0);
    mem(dis, 0x3f);
    mem(used, 0);
    mem(f, 0);
}
int prim()  // 求 最小生成树
{
    int s = 1;
    dis[1] = 0, vis[s] = 1, p[s] = 0;
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++)   // 边数 为点数减一
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)  // 更新距离，标记起点
        {
            if (vis[j] == 0 && dis[j] > a[s][j])
            {
                dis[j] = a[s][j];
                p[j] = s;
            }
        }
        int min = inf;
        for (int j = 1; j <= n; j++)  // 找到 最小的那条边
        {
            if (vis[j] == 0 && dis[j] < min)
            {
                min = dis[j];
                s = j;
            }
        }
        if (min == inf)
            return -1;
        vis[s] = 1;
        used[s][p[s]] = used[p[s]][s] = 1;   //  TE
        sum += min;

        for (int j = 1; j <= n; j++)   // 多了这一段
        {
            if (vis[j])
                f[j][s] = f[s][j] = MAX(f[j][p[s]], a[p[s]][s]);   // 这里 dis[j] ==  a[p[s]][s]
        }
    }
    return sum;
}
int smst(int minT)  // 求 次小生成树
{
    int ans = inf;
    for (int i = 1; i <= n; i++)   //枚举最小生成树之外的边
    {
        for (int j = i + 1; j <= n; j++)
        {
            if (a[i][j] != inf && !used[i][j])
                ans = MIN(ans, minT + a[i][j] - f[i][j]);
        }
    }
    if (ans == inf)
        return -1;
    return ans;
}
int main(void)
{
    int t; scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        init();
        scanf("%d %d", &n, &m);
        for (int i = 0; i < m; i++)
        {
            int u, v, w; scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
            a[u][v] = a[v][u] = w;
        }

        int minT = prim();    // 最小生成树
        if (minT == -1)
            puts("Not Unique!");
        else 
        {
            int secT = smst(minT); // 次小生成树
            if (secT == minT)
                printf("Not Unique!
");
            else
                printf("%d
", minT);
        }
    }
    system("pause");
    return 0;
}

 Kruskal

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<vector>
#include<algorithm>]
using namespace std;
#define N 111
#define inf 0x3f3f3f3f
#define MIN(x,y) (x<y?x:y)
int p[N], f[N][N];
int n, m;
vector<int> g[N];
struct edge
{
    int from, to, w;
    int vis;      // 标记
}e[123456];
int cmp(const edge &a, const edge &b)
{
    return a.w < b.w;
}
int find(int x)
{
    if (x != p[x])
        p[x] = find(p[x]);
    return  p[x];
}
int join(int x, int y)
{
    x = find(x), y = find(y);
    if (x == y)
        return 0;
    x = p[y];
    return 1;
}
void init()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        g[i].clear();
        g[i].push_back(i);
        p[i] = i;
    }
}
int Kruskal()
{
    sort(e + 1, e + 1 + m, cmp);
    init();
    int sum = 0, cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        if (cnt == n - 1)
            break;

        int x = find(e[i].from), y = find(e[i].to);
        if (x != y)
        {
            cnt++;
            e[i].vis = 1;
            sum += e[i].w;
            int lx = g[x].size(), ly = g[y].size();
            for (int j = 0; j < lx; j++)
            {
                for (int k = 0; k < ly; k++)
                    f[g[x][j]][g[y][k]] = f[g[y][k]][g[x][j]] = e[i].w;
            }
            p[x] = y;
            for (int j = 0; j < lx; j++)
            {
                g[y].push_back(g[x][j]);
            }
        }
    }
    return sum;
}
int smst(int minT)
{
    int sum = inf;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        if (e[i].vis == 0)
            sum = MIN(sum, minT + e[i].w - f[e[i].from][e[i].to]);
    }
    return sum;
}
int main(void)
{
    int t; scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            scanf("%d%d%d", &e[i].from, &e[i].to, &e[i].w);
            e[i].vis = 0;
        }
        int minT = Kruskal();
        int secT = smst(minT);
        if (secT != minT)
            printf("%d
", minT);
        else
            puts("Not Unique!");
    }
    system("pause");
    return 0;
}

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高凉村妇盼郎归情歌

百里寻夫到天光 又到徐闻与海康

走尽花街和柳巷 谁知夫在鸡婆床

二八鸡婆巧梳妆 洞房夜夜换新郎

一双玉臂千人枕 半点朱唇万客尝

装成一身娇体态 扮做一副假心肠

迎来送往知多少 惯作相思泪两行

一生悲欢恨怨间 劝郎戒嫖把家还

一觉扬州梦应醒 为妻待郎情无限。