各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度(阿里)

 二分查找法的时间复杂度：O(logn) redis,kafka,B+树的底层都采用了二分查找法 

参考：二分查找法 redis的索引底层的 跳表原理 实现 聊聊Mysql索引和redis跳表 ---redis的跳表原理 时间复杂度O(logn)(阿里) 

参考：二分查找法 kafka如何实现高并发存储-如何找到一条需要消费的数据(阿里) 

参考：二分查找法：一步步分析为什么B+树适合作为索引的结构 以及索引原理 (阿里面试) 

1.二分查找
  二分查找也称为折半查找，它是一种效率较高的查找方法。二分查找的使用前提是线性表已经按照大小排好了序。这种方法充分利用了元素间的次序关系，采用分治策略。基本原理是：首先在有序的线性表中找到中值，将要查找的目标与中值进行比较，如果目标小于中值，则在前半部分找，如果目标小于中值，则在后半部分找；假设在前半部分找，则再与前半部分的中值相比较，如果小于中值，则在中值的前半部分找，如果大于中值，则在后半部分找。以此类推，直到找到目标为止。                                  

  假设我们要在 2，6，11，13，16，17，22，30中查找22，上图所示，则查找步骤为：

 首先找到中值：中值为13（下标：int middle = (0+7)/2），将22与13进行比较，发现22比13大，则在13的后半部分找；
 在后半部分 16，17，22，30中查找22，首先找到中值，中值为17（下标：int middle=(0+3)/2），将22与17进行比较，发现22比17大，则继续在17的后半部分查找；
 在17的后半部分 22，30查找22，首先找到中值，中值为22（下标：int middle=(0+1)/2），将22与22进行比较，查找到结果。
  二分查找大大降低了比较次数，二分查找的时间复杂度为：O(logn)，即。

示例代码： 

public class BinarySearch {

public static void main(String[] args) {
int arr[] = {2, 6, 11, 13, 16, 17, 22, 30};
System.out.println("非递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22));
System.out.println("递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22, 0, 7));
}


//非递归
static int binarySearch(int[] arr, int res) {

int low = 0; 
int high = arr.length-1; 
while(low <= high) {
int middle = (low + high)/2;
if(res == arr[middle]) {
return middle; 
}else if(res <arr[middle]) { 
high = middle - 1; 
}else { 
low = middle + 1; 
}
}
return -1; 
}

//递归
static int binarySearch(int[] arr,int res,int low,int high){ 

if(res < arr[low] || res > arr[high] || low > high){
return -1;
}
int middle = (low+high)/2;
if(res < arr[middle]){ 
return binarySearch(arr, res, low, middle-1); 
}else if(res > arr[middle]){ 
return binarySearch(arr, res, middle+1, high); 
}else { 
return middle; 
} 
} 
}

其中冒泡排序加个标志，所以最好情况下是o(n)

 直接选择排序：

排序过程：

     1 、首先在所有数据中经过 n-1次比较选出最小的数，把它与第 1个数据交换，

       2、然后在其余的数据内选出排序码最小的数，与第 2个数据交换...... 依次类推，直到所有数据排完为止。

         在第i 趟排序中选出最小关键字的数据，需要做 n-i次比较。  

//冒泡排序，大的数不断向后冒泡
void buddle(vector<int>& nums)
{
    int len=nums.size();
    for(int i=0;i<len-1;i++)
    {
        for(int j=0;j<len-1-i;j++)
        {
            if(nums[j]>nums[j+1])
                swap(nums[j],nums[j+1]);
        }
    }
     
}

线性排序算法

计数排序

假设：有n个数的集合，而且n个数的范围都在0~k(k = O(n))之间。

运行时间：Θ(n+k)

待排序数组A如图2.1所示，需要辅助数组B(存储最后排序结果)，数组C(存储元素的个数)。基于上述的假设，数组C的大小为k，C[i]表示数组A中元素i(0 <= i < k)的个数(如图2.2所示)，为了保证计数排序的稳定性，数组C变化为图2.3，C[i]表示小于或者等于i的个数。代码如下：

  1: /*
   2:     输入：待排序数组A,存储排序后的数组B，数组A的大小，数组C的大小
   3:     功能：计数排序
   4: */
   5: void CountingSort(int A[], int B[], int len, int k)
   6: {
   7:     int *CountArr = new int[k];
   8:     int i;
   9:     for (i = 0; i < k; i++)
  10:     {
  11:         CountArr[i] = 0;
  12:     }
  13:  
  14:     for (i = 0; i < len; i++)
  15:     {
  16:         CountArr[A[i]]++;                
  17:     }
  18:  
  19:     for (i = 1; i < k; i++)
  20:     {
  21:         CountArr[i] += CountArr[i-1];
  22:     }
  23:  
  24:     // 从右至左保证算法的稳定性
  25:     for (i = len-1; i >=0; i--)
  26:     {
  27:         B[CountArr[A[i]]-1] = A[i];
  28:         CountArr[A[i]]--;
  29:     }
  30: }

9-12行和19-22行的运行时间Θ(k)，14-17行和25-29行的运行时间为Θ(n)，所以总的运行时间为Θ(2(n+k)) = Θ(n+k)。

基数排序

基数排序：将所有待比较数值(正整数)统一为同样的数位长度，数位较短的数前面补零。然后，从最低位开始，依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后， 数列就变成一个有序序列。

基数排序分为两种LSD和MSD。

LSD(Least significant digital)：最低有效位优先，即从右向左开始排序。

MSD(Most significant digital)：最高有效位优先，即从左往右开始排序。

以下是LSD方式的基数排序的伪代码

如图3：先牌个位，然后十位，最后百位。为数组的某一位排序的时候一定需要稳定的算法。

运行时间为Θ(d(n+k))。在基数排序中排列数组各位的算法是计数排序所以运行时间为Θ(n+k)，又d是数组中数的最大位数。

 

桶排序

桶排序：将数组分到有限个桶子内，然后再对桶子里面的序列进行排序，运行时间Θ(n)。桶排序基于一个假设：输入的数据由随机过程构成，否则在最坏情况下都分配到一个桶子里面，如果又不满足计数排序的假设要求，那么只能使用基于比较的排序算法进行排序，运行时间就退化到Ω(nlogn)。

排序算法稳定性

排序算法稳定性：假设待排序序列中有两个元素相等，而且在排序前和排序后两个相等的元素的相对位置不变，即有 a = b，排序前a在b前面，那么排序后，a还是要在b前面。排序算法的稳定性是要看具体的算法实现，比如一般情况下，直接选择排序，快速排序，希尔排序，堆排序都不是稳定排序算法，基数排序，计数排序，归并排序，插入排序，冒泡排序都是稳定排序算法。

快速排序：A = {2， 2， 1}，排序后A = {1，2，2}。

希尔排序：A = {1，2，5，4，4，7}，排序后（k = 2）；A = {1， 2， 4， 4， 5， 7} 。

堆排序：A = {2，2，1}，排序后A = {1，2， 2}。

直接选择排序： A = {4， 4， 2， 5},排序后 A = {2，4， 4， 5}。

以上举例都不满足稳定性。