图论·二分图

二分图判定

对于无向图$G=(V,E)$，如果可以把节点集分成不相交的两部分，即$X$和$Y=V - X$，使得每条边边的其中一个端点在$X$中，另一个端点在$Y$中，则称图$G$是二分图(bipartite graph)。二分图的另一个等价说法是，可以把每个结点着以黑色和白色之一，使得每条边的两个端点颜色不同。不难发现，非连通的图是二分图当且仅当每个连通分量是二分图，因此我们只考虑无向连通图。容易看出，无环连通图一定是二分图。下面给出判断结点$u$所在的连通分量是否是二分图的代码：

int color[maxn];
bool dfs(int u){
    FOR(i, 0, G[u].size() - 1){
        int v = G[u][i];
        if(color[v] == color[u]) return 0;
        if(!color[v]){
            color[v] = 3 - color[u];
            if(!dfs(v)) return 0;
        }
    }
    return 1;
}
bool bipartite(int u){
    clr(color, 0);
    color[u] = 1;
    return dfs(u);
}

原理很简单，就是把$u$结点的颜色置为$1$，以其为跟扩展出一棵dfs树，当且仅当所有结点对颜色不冲突时无向图为二分图。