【bzoj4543】[POI2014]Hotel加强版

题目

抄题解.jpg

发现原来的(O(n^2))的换根(dp)好像行不通了呀

我们考虑非常牛逼的长链剖分

我们设(f[x][j])表示在(x)的子树中距离(x)为(j)的点有多少个

(g[x][j])表示在(x)的子树里，满足如下条件的点对((u,v))的个数

1. 设(k=LCA(u,v))，满足(dis(u,k)=dis(v,k)=d)

2. 满足(dis(k,x)=d-j)

我们发现可以如果(v)是(x)的儿子，那么距离(v)为(j-1)的点和(x)的距离就是(j)，那么到(k)的距离就是(d-j+j=d)，和点对到(k)的距离相等

于是我们可以这样合并

[ans+=f[v][j-1] imes g[x][j] ]

自然还有

[ans+=f[x][j-1] imes g[v][j] ]

(f)数组的更新非常简单啊，就是(f[x][j]+=f[v][j-1])，这个我们可以用长链剖分优化到(O(n))

之后是(g)的更新

首先我们有(g[x][j]+=g[v][j+1])，就是到(x)距离为(d-j)的(k)到(v)的距离必然是(d-j-1)，这里我们也可以直接长链剖分

之后(g[x][j+1]+=f[x][j+1] imes f[v][j])，这样产生的点对的(LCA)就是(x)，到(x)的距离也就是(j+1)，符合条件，这里直接暴力转移就好了

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
const int maxn=100006;
inline int read() {
    char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||x>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
struct E{int v,nxt;}e[maxn<<1];
int head[maxn],len[maxn],n,num,son[maxn],deep[maxn];
LL tax[maxn*6],*id=tax,*f[maxn],*g[maxn],ans;
inline void add(int x,int y) {
    e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;
}
void dfs1(int x) {
    for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
        if(deep[e[i].v]) continue;
        deep[e[i].v]=deep[x]+1;
        dfs1(e[i].v);
        if(len[e[i].v]>len[son[x]]) son[x]=e[i].v;
    }
    len[x]=len[son[x]]+1;
}
void dfs(int x) {
    f[x][0]=1;
    if(son[x]) {
        g[son[x]]=g[x]-1;
        f[son[x]]=f[x]+1;
        dfs(son[x]);
    }
    ans+=g[x][0];
    for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
        if(deep[e[i].v]<deep[x]||son[x]==e[i].v) continue;
        f[e[i].v]=id;id+=len[e[i].v]+1;
        g[e[i].v]=id+len[e[i].v]+1;id+=2*len[e[i].v]+2;
        dfs(e[i].v);
        for(re int j=len[e[i].v];j>=0;--j) {
            if(j) ans+=f[x][j-1]*g[e[i].v][j];
            ans+=g[x][j+1]*f[e[i].v][j];
            g[x][j+1]+=f[e[i].v][j]*f[x][j+1];
        }
        for(re int j=0;j<=len[e[i].v];j++) {
            if(j) g[x][j-1]+=g[e[i].v][j];
            f[x][j+1]+=f[e[i].v][j];
        }
    }
}
int main() {
    n=read();
    for(re int x,y,i=1;i<n;i++) 
        x=read(),y=read(),add(x,y),add(y,x);
    deep[1]=1;dfs1(1);
    f[1]=id;id+=len[1]+1;
    g[1]=id+len[1]+1;//由于我们继承重儿子是g[son[x]]=g[x]-1,所以得在这个指针前面留一些空位置来让后面的状态继承
    id+=2*len[1]+2;
    dfs(1);printf("%lld
",ans);
    return 0;
}