[HNOI2019]校园旅行

题目

过于神仙啊，抄题解.jpg

首先(n)并不是很大啊，我们可以直接用(f_{i,j})表示(i)到(j)是否存在一个回文路径

对于一条回文路径，如果在两端分别添加一个相同的字符，那么仍然是一个回文路径，于是我们可以利用这个来打一个暴力(bfs)

就像这样

while(!q[0].empty()) {
		int x=q[0].front(),y=q[1].front();
		q[0].pop(),q[1].pop();
		for(re int i=0;i<v[x].size();i++)
			for(re int j=0;j<v[y].size();j++) {
				int xx=v[x][i],yy=v[y][j];
				if(xx>yy) std::swap(xx,yy);
				if(S[xx]!=S[yy]||f[xx][yy]) continue;
				f[xx][yy]=dp[xx][yy]=1;
				q[0].push(xx),q[1].push(yy);
			}
	}

非常显然这个复杂度一点也不科学，卡满就是(O(m^2))的，肯定是要(T)的

但是(n)却不是很大，能不能让边数减小一点呢

之后就不会啦，愉快地抄题解

首先我们注意到一个问题，就是我们只需要关注奇偶性就好了，因为我们可以来回走一条边使得长度增加，但是并不能改变奇偶性

之后我也不知道为什么通过这一点就想到了二分图

我们把边分成两类，一类是连接相同颜色点的边，一类是连接不同颜色点的边

我们考虑一个连通块，这个连通块仅由相同颜色的点构成，显然这个连通块里的边都是第一类边

如果这个连通块是一个二分图，由于二分图不存在奇环，对于任意两个点，所有连接这两个点的路径的奇偶性都是一样的

由于我们也只关注奇偶性，所以只需要对这个二分图搞出来一棵生成树即可

如果这个联通块不是一个二分图，那么就一定存在至少一个奇环，那么我们就可以通过走这个奇环使得路径的奇偶性改变

我们需要让边的数量尽量少，那么只需要求出来一棵有奇环的基环树即可

这些我们都能通过(dfs)来完成

对于第二类边，只考虑这些边的话整张图就是一个二分图，于是我们还是对这些边求一个生成树即可

最后我们发现我们这张图的边数已经和(n)同级了，于是我们直接上最开始的那个暴力，复杂度就是(O(n^2))了

代码

#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define re register
inline int read() {
	char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int maxn=5e3+5;
std::vector<int> v[maxn];
std::queue<int> q[2];
struct E{int v,nxt;}e[1000005];
int n,m,Q,num,tot,flag;
char S[maxn];
int f[maxn][maxn],dp[maxn][maxn],vis[maxn],fa[maxn],sz[maxn],pre[maxn];
int head[maxn],a[500005],b[500005];
inline void add(int x,int y) {
	e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;
}
void dfs(int x,int fa) {
	vis[x]=1;
	for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
		if(S[e[i].v]!=S[x]||fa==e[i].v) continue;
		if(vis[e[i].v]&&S[e[i].v]==S[x]&&!flag) {
			if(!(pre[e[i].v]^pre[x])) 
				v[x].push_back(e[i].v),v[e[i].v].push_back(x),flag=1;
			continue;
		}
		v[x].push_back(e[i].v);v[e[i].v].push_back(x);
		pre[e[i].v]=pre[x]^1;dfs(e[i].v,x);
	}
}
inline int find(int x) {return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
inline void merge(int x,int y) {
	if(sz[x]<sz[y]) fa[y]=x,sz[y]+=sz[x];
		else fa[x]=y,sz[x]+=sz[y];
}
int main() {
	n=read(),m=read(),Q=read();scanf("%s",S+1);
	for(re int x,y,i=1;i<=m;i++) {
		x=read(),y=read(),add(x,y),add(y,x);
		if(S[x]!=S[y]) a[++tot]=x,b[tot]=y;
	}
	for(re int i=1;i<=n;i++) {
		if(vis[i]) continue;
		flag=0;dfs(i,0);
	}
	for(re int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,sz[i]=1;
	for(re int i=1;i<=tot;i++) {
		int xx=find(a[i]),yy=find(b[i]);
		if(xx==yy) continue;
		merge(xx,yy);
		v[a[i]].push_back(b[i]);
		v[b[i]].push_back(a[i]);
	}
	for(re int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=dp[i][i]=1,q[0].push(i),q[1].push(i);
	for(re int i=1;i<=n;i++) 
		for(re int j=0;j<v[i].size();j++) {
			int x=i,y=v[i][j];
			if(x>y) std::swap(x,y);
			if(S[x]!=S[y]||f[x][y]) continue;
			f[x][y]=dp[x][y]=1,q[0].push(x),q[1].push(y);
		}
	while(!q[0].empty()) {
		int x=q[0].front(),y=q[1].front();
		q[0].pop(),q[1].pop();
		for(re int i=0;i<v[x].size();i++)
			for(re int j=0;j<v[y].size();j++) {
				int xx=v[x][i],yy=v[y][j];
				if(xx>yy) std::swap(xx,yy);
				if(S[xx]!=S[yy]||f[xx][yy]) continue;
				f[xx][yy]=dp[xx][yy]=1;
				q[0].push(xx),q[1].push(yy);
			}
	}
	for(re int x,y,i=1;i<=Q;i++) {
		x=read(),y=read();
		if(x>y) std::swap(x,y);
		puts(dp[x][y]?"YES":"NO");
	}
	return 0;
}