比较厉害的题目了
求
[sum_{i=0}^{infty}sum_{j=0}^nf_ji^jr^i
]
改变一下求和顺序
[sum_{j=0}f_jsum_{i=0}^{infty}i^jr^i
]
我们发现只要对于(k=[0,m])，求出(sum_{i=0}^{infty}i^kr^i)就可以了
不妨把这个要求的东西看成一个关于(r)的多项式(g_k(r)=sum_{i=0}^{infty}i^kr^i)
显然有
[frac{g_k(r)}{r}=sum_{i=0}^{infty}i^kr^{i-1}
]
对于(k>0)，就有(frac{g_k(r)}{r}=sum_{i=0}^{infty}(i+1)^kr^{i})
我们那这个式子减掉(g_k(r))
即
[(frac{1}{r}-1)g_k(r)=sum_{i=0}^infty ((i+1)^k-i^k)r^i
]
我们用二项式订定理展开一下((i+1)^k-i^k)，这个显然应该是(sum_{j=0}^{k-1}inom{k}{j}i^j)
即
[(frac{1}{r}-1)g_k(r)=sum_{i=0}^infty r^isum_{j=0}^{k-1}inom{k}{j}i^j
]
改变一下求和顺序
[(frac{1}{r}-1)g_k(r)=sum_{j=0}^{k-1}inom{k}{j}sum_{i=0}^infty i^jr^i=sum_{j=0}^{k-1}inom{k}{j}g_j(r)
]
我们大力拆开组合数就得到了
[frac{g_k(r)}{k!}=sum_{i=0}^{k-1}frac{g_j(r)}{j!} imes frac{r}{(k-j)! imes (1-r)}
]
显然自己卷自己，多项式求逆即可，注意边界(g_0(r)=sum_{i=0}^infty r^i=frac{1}{1-r})
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define re register
inline int read() {
char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int maxn=262144+5;
const int mod=998244353;
const int G[2]={3,(mod+1)/3};
inline int ksm(int a,int b) {
int S=1;
for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) S=1ll*S*a%mod;
return S;
}
int n,m,len,rev[maxn],fac[maxn],inv[maxn],ifac[maxn];
int a[maxn],b[maxn],C[maxn];
inline void NTT(int *f,int o) {
for(re int i=0;i<len;i++) if(i<rev[i]) std::swap(f[i],f[rev[i]]);
for(re int i=2;i<=len;i<<=1) {
int ln=i>>1,og1=ksm(G[o],(mod-1)/i);
for(re int t,og=1,l=0;l<len;l+=i,og=1)
for(re int x=l;x<l+ln;++x) {
t=1ll*f[x+ln]*og%mod;og=1ll*og*og1%mod;
f[x+ln]=(f[x]-t+mod)%mod;f[x]=(f[x]+t)%mod;
}
}
if(!o) return;
int Inv=ksm(len,mod-2);
for(re int i=0;i<len;i++) f[i]=1ll*f[i]*Inv%mod;
}
void Inv(int n,int *A,int *B) {
if(n==1) {A[0]=ksm(B[0],mod-2);return;}
Inv((n+1)>>1,A,B);len=1;
while(len<n+n-1) len<<=1;
for(re int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?len>>1:0);
for(re int i=0;i<n;i++) C[i]=B[i];
for(re int i=n;i<len;i++) C[i]=0;
NTT(C,0),NTT(A,0);
for(re int i=0;i<len;i++) A[i]=(2ll*A[i]-1ll*C[i]*A[i]%mod*A[i]%mod+mod)%mod;
NTT(A,1);for(re int i=n;i<len;i++) A[i]=0;
}
int main() {
n=read(),m=read();fac[0]=ifac[0]=inv[1]=1;
for(re int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
for(re int i=2;i<=n;i++) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
for(re int i=1;i<=n;i++) ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%mod;
int t=ksm(m,mod-2);t=(1+mod-t)%mod;t=ksm(t,mod-2);
for(re int i=1;i<=n;i++) b[i]=1ll*ifac[i]*t%mod;
b[0]=1;Inv(n+1,a,b);
int ans=0;
for(re int i=0;i<=n;i++) ans=(ans+1ll*fac[i]*a[i]%mod*read()%mod)%mod;
printf("%d
",1ll*ans*ksm(1-m+mod,mod-2)%mod);
return 0;
}