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  • [THUWC2017]随机二分图

    题目

    orz神仙题

    考虑只有(t=0)的时候怎么做

    其实等价于求完美匹配的个数,但是我们有一个更为一般的(dp)可以写,设(dp_{S,T})表示在一左部点里匹配的点集是(S),右部点里匹配的点集是(T)的期望完美匹配个数

    我们可以枚举一条边((i,j)),表示当前匹配的边是((i,j)),于是就有

    [dp_{S,T}=sum_{i otin S,j otin T,(i,j)in E}dp_{S/i,T/j} imes p_{i,j} ]

    (S/i)表示集合(S)去掉(i)后的到的集合

    但是这样求出来的东西好像不是很对,因为对于某一种完全匹配,我们按照不同的加边顺序算了多次,于是我们钦定一个加边顺序,比如先加入编号小的点,这样就不会算重

    由于(|S|=|T|),所以这样的复杂度是(sum_{i=0}^ninom{n}{i}^2=inom{2n}{n}),还是比较科学的

    再来考虑(t>0)的情况

    对于(t=1)的边组((u,v,a,b)),我们还是先把((a,b),(u,v))都加入边集出现的概率视为(frac{1}{2});对于一组完美匹配,如果((a,b),(u,v))其中之一出现在了里面,那么我们算进去的概率是(frac{1}{2}),这符合题意:但是当((a,b),(u,v))都出现了,我们算的概率是(frac{1}{2} imes frac{1}{2}=frac{1}{4}),但真实的出现概率却是(frac{1}{2})

    所以只有在这两条边都出现的情况下我们才会错误计算,于是我们加一条四元边((u,v,a,b)),出现概率为(frac{1}{4}),这样对于一组((a,b),(u,v))都出现的完美匹配,我们计算的概率就是(frac{1}{4}+ frac{1}{4}=frac{1}{2}),这样算就正确了。

    同理,对于(t=2)的情况,我们加一条四元边((u,v,a,b))出现的概率为(-frac{1}{4})即可

    代码

    #include <tr1/unordered_map>
    #include <bits/stdc++.h>
    #define re register
    using namespace std::tr1;
    const int mod = 1e9 + 7, inv2 = 500000004, inv4 = 250000002, _inv4 = 750000005;
    unordered_map<int, int> dp, f;
    inline int qm(int x) { return x >= mod ? x - mod : x; }
    int se[5005], sp[5005], n, m, M;
    int dfs(int s) {
        if (!s)
            return 1;
        if (f[s])
            return dp[s];
        int res = 0;
        f[s] = 1;
        for (re int i = 1; i <= M; i++)
            if ((se[i] & s) == se[i] && se[i] > s / 2)
                res = qm(res + 1ll * sp[i] * dfs(se[i] ^ s) % mod);
        // printf("%d %d
    ",s,res);
        return dp[s] = res;
    }
    int main() {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (re int t, u, v, a, b, i = 1; i <= m; i++) {
            scanf("%d%d%d", &t, &u, &v);
            se[++M] = (1 << (u - 1)) | (1 << (v + n - 1));
            sp[M] = inv2;
            if (!t)
                continue;
            scanf("%d%d", &a, &b);
            se[++M] = (1 << (a - 1)) | (1 << (b + n - 1));
            sp[M] = inv2;
            if (se[M] & se[M - 1])
                continue;//当(a,b),(u,v)有交点的时候,由于不可能同时存在于完美匹配里,所以没有必要加入四元边
            se[M + 1] = se[M] | se[M - 1];
            sp[++M] = (t == 1 ? inv4 : _inv4);
        }
        // for(re int i=1;i<=M;i++) printf("%d %d
    ",se[i],sp[i]);
        printf("%d
    ", 1ll * (1 << n) * dfs((1 << (n + n)) - 1) % mod);
        return 0;
    }
    
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/asuldb/p/12002491.html
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