蓝桥杯算法提高 递推求值 【矩阵快速幂】

  算法提高 递推求值  

时间限制：1.0s   内存限制：256.0MB

   

锦囊1

 

锦囊2

 

锦囊3

 

问题描述

　　已知递推公式：

　　F(n, 1)=F(n-1, 2) + 2F(n-3, 1) + 5,

　　F(n, 2)=F(n-1, 1) + 3F(n-3, 1) + 2F(n-3, 2) + 3.

　　初始值为：F(1, 1)=2, F(1, 2)=3, F(2, 1)=1, F(2, 2)=4, F(3, 1)=6, F(3, 2)=5。
　　输入n，输出F(n, 1)和F(n, 2)，由于答案可能很大，你只需要输出答案除以99999999的余数。

输入格式

　　输入第一行包含一个整数n。

输出格式

　　输出两行，第一行为F(n, 1)除以99999999的余数，第二行为F(n, 2)除以99999999的余数。

样例输入

4

样例输出

14

21

数据规模和约定

　　1<=n<=10^18

 

 

第一次做矩阵快速幂的题目开始做的一塌糊涂，看到了这篇文章的启发http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2013/05/19/3087648.html解释的很明白。

题目分析：

构造一个1×8的矩阵[f(n-1,1),f(n-1,2),f(n-2,1),f(n-2,2),f(n-3,1),f(n-3,2),5,3]

，根据递推关系，可以通过乘以一个8×8的矩阵A，得到矩阵[f(n,1),f(n,2),f(n-1,1),f(n-1,2),f(n-2,1),f(n-2,2),5,3]，算出矩阵A，即：

0,1,1,0,0,0,0,0,
1,0,0,1,0,0,0,0,
0,0,0,0,1,0,0,0,
0,0,0,0,0,1,0,0,
2,3,0,0,0,0,0,0,
0,2,0,0,0,0,0,0,
1,0,0,0,0,0,1,0,
0,1,0,0,0,0,0,1

之后再利用矩阵快速幂的方法得到结果。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;
struct matrix
{
    long long a[8][8];
};
matrix multiply(matrix x,matrix y,int m,int n,int s)//m*s   s*n  矩阵相乘
{
    matrix temp;
    memset(temp.a,0,sizeof(temp.a));
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
                for(int k=0;k<s;k++)
                    temp.a[i][j]=(temp.a[i][j]+(x.a[i][k]*y.a[k][j])%99999999)%99999999;
    return temp;
}
int main()
{

    matrix temp={
                       0,1,1,0,0,0,0,0,
                       1,0,0,1,0,0,0,0,
                       0,0,0,0,1,0,0,0,
                       0,0,0,0,0,1,0,0,
                       2,3,0,0,0,0,0,0,
                       0,2,0,0,0,0,0,0,
                       1,0,0,0,0,0,1,0,
                       0,1,0,0,0,0,0,1
                      };
    matrix res;
    long long f[8]={6,5,1,4,2,3,5,3},sum1,sum2,n;
    memset(res.a,0,sizeof(res.a));
    for(int i=0;i<8;i++)
        res.a[i][i]=1;
    cin>>n;
    if(n==1)
        cout<<"2"<<endl<<"3"<<endl;
    if(n==2)
        cout<<"1"<<endl<<"4"<<endl;
    if(n==3)
        cout<<"6"<<endl<<"5"<<endl;
    if(n>=4)
    {
    n=n-3;
    while(n)//矩阵快速幂
    {
        if(n&1)
        {
            res=multiply(res,temp,8,8,8);
        }
        n>>=1;
        temp=multiply(temp,temp,8,8,8);
    }
    sum1=sum2=0;
    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        sum1=(sum1+(f[i]*res.a[i][0])%99999999)%99999999;
        sum2=(sum2+(f[i]*res.a[i][1])%99999999)%99999999;
    }
    cout<<sum1<<endl<<sum2<<endl;
    }

    return 0;
}