假设有一个硬币，抛出字（背面）和花（正面）的概率都是0.5，而且每次抛硬币与前次结果无关。现在做一个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现两次字为止，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，一旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了，不用继续抛。
上面这个题目我第一次见到是在pongba的TopLanguage的一次讨论上，提出问题的人为Shuo Chen，当时我给出了一个解法，自认为已经相当简单了，先来考虑一下抛硬币的过程：首先先抛一枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛一枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么又需要重头开始。根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系
T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T)
解方程可得到 T = 6. 由于上面这个方法只能得到期望，而无法得到方差以及具体某个事件的概率，后来我又仔细分析了一下，推出了概率生成函数为（推导的过程暂时略过，后面你会看到一个更一般、更简单的推导）
于是可以算出方差 V = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = 22。将G(z)根据Rational Expansion Theorem [CMath 7.3]展开，可以得到需要抛n次硬币的概率为
其中Fn是Fibonacci数列的第n项。到这里，我觉得这个问题似乎已经完全解决了，直到昨天看到Matrix67的牛B帖。在此帖中Matrix67大牛用他那神一般的数学直觉一下将需要连续抛出n个字的一般情形给解决了，而且得出的结果相当简洁：Tn = 2^(n+1) - 2，其中Tn为首次出现连续的n个字的期望投掷数。这也给了我一些启发，我试着将上面的过程进行推广，居然得到一个简单得出人意料的解法（甚至比上面n=2的推导过程还简单）。这个解法的关键在于下面这个递推关系
Tn = Tn-1 + 1 + 0.5 * Tn
也即是有 Tn = 2 * Tn-1 + 2。由于 T1 = 2，因此可以得到 Tn = 2^(n+1) – 2。上面的递推关系是怎么来的呢，一个直观的理解是这样的：首先先抛掷Tn-1次，得到连续的n-1个字，然后再抛一次，若是字，则游戏结束；否则需要重头开始，也就是说又需要 Tn 次。
期望投掷次数已经得出来了，但是我们还想知道方差、恰好需要投掷 m 次的概率等其它一些更具体的性质。为了方便理解概率的分布情况，我先用程序生成了一个概率表如下所示。在下表中，第n行、第m列的元素为 Pnm，表示首次出现连续n个字的投掷数为m的概率。
| 1/2 | 1/4 | 1/8 | 1/16 | 1/32 | 1/64 | 1/128 | 1/256 | 1/512 | 1/1024 |
| 0 | 1/4 | 1/8 | 2/16 | 3/32 | 5/64 | 8/128 | 13/256 | 21/512 | 34/1024 |
| 0 | 0 | 1/8 | 1/16 | 2/32 | 4/64 | 7/128 | 13/256 | 24/512 | 44/1024 |
| 0 | 0 | 0 | 1/16 | 1/32 | 2/64 | 4/128 | 8/256 | 15/512 | 29/1024 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1/32 | 1/64 | 2/128 | 4/256 | 8/512 | 16/1024 |
仔细观察上表，你发现什么有趣的性质没？如果忽略掉分母的话，那么第n行恰好是一个n阶Fibonacci数列。例如可以考查各行的最后一列，有
第一行：1 = 1
第二行：34 = 21 + 13
第三行：44 = 24 + 13 + 7
第四行：29 = 15 + 8 + 4 + 2
第五行：16 = 8 + 4 + 2 + 1 + 1
怎么解释这个现象呢？我们再来仔细考虑一下掷硬币的过程，为方便在下文中用1表示字，用0表示花，于是我们的目标是要恰好使用m次投掷，得到连续的n个1.
若第一次的结果为 0，那么剩下的任务就是恰好使用m-1次投掷得到到连续的n个1.
若前两次的结果为 10, 那么剩下的任务就是恰好使用m-2次投掷得到到连续的n个1.
若前三次的结果为 110, 那么剩下的任务就是恰好使用m-3次投掷得到到连续的n个1.
若前四次的结果为 1110, 那么剩下的任务就是恰好使用m-4次投掷得到到连续的n个1.
…
若前n-1次的结果为 1…10(n-2个1), 那么剩下的任务就是恰好使用1次投掷得到到连续的n个1.
你或许已经看出来了，这里实际上是在枚举首次出现0的位置。由于首个0出现在位置i的概率为1/2^i，于是得到Pnm的递推公式
于是根据初始条件：，
，我们可以推出所有事件的概率。现在来推一下概率生成函数，设需要得到连续n个1的投掷数的概率生成函数为Gn(z)，于是有
根据上面的递推公式和初始条件，可以得到
于是可解得
分别代入 n = 1 和 n = 2 可以得到
以我们前面得到的结果一致，这证明这个概率生成函数的确是正确的。有了生成函数后，我们又多了一种计算期望的方式
而方差也可以非常容易的得到
至此，这个抛硬币的问题终于应该算是被完全解决了，完。