[Usaco2006 Jan] Redundant Paths 分离的路径

1718: [Usaco2006 Jan] Redundant Paths 分离的路径

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Description

    为了从F(1≤F≤5000)个草场中的一个走到另一个，贝茜和她的同伴们有时不得不路过一些她们讨厌的可怕的树．奶牛们已经厌倦了被迫走某一条路，所以她们想建一些新路，使每一对草场之间都会至少有两条相互分离的路径，这样她们就有多一些选择．

    每对草场之间已经有至少一条路径．给出所有R(F-1≤R≤10000)条双向路的描述，每条路连接了两个不同的草场，请计算最少的新建道路的数量, 路径由若干道路首尾相连而成．两条路径相互分离，是指两条路径没有一条重合的道路．但是，两条分离的路径上可以有一些相同的草场． 对于同一对草场之间，可能已经有两条不同的道路，你也可以在它们之间再建一条道路，作为另一条不同的道路．

Input

    第1行输入F和R，接下来R行，每行输入两个整数，表示两个草场，它们之间有一条道路．

Output

    最少的需要新建的道路数．

Sample Input

7 7
1 2
2 3
3 4
2 5
4 5
5 6
5 7

Sample Output

2

HINT

Source

Gold

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题解

题意要求的是加最少的边让连通图变成边双。

翻了好久才有一篇讲解了构造的题解。

首先tarjan把边双都缩成一个点。如果个数只有1或2，答案显然。

然后是一棵树的情况，选择一个度数不为1的点（易证存在）做根节点。 如何把这棵树加最少的边变成边双呢？

统计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样就可以再缩一次点。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。

为什么是正确的呢？考虑我们的目的，是让这棵树变成一个点。而如果这些叶节点都被上述那种找最长链的方式缩成一个点，那么整棵树也应该被缩成一个点了。还是感性理解啊……

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-') w=-w;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) data=data*10+ch-'0';
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;
using namespace std;

co int N=5e3+1,M=2e4+2;
int n,m,dfn[N],low[N],num;
int head[N],edge[M],next[M],tot=1;
int st[N],top;
int dcc[N],deg[N],cnt,ans;
bool v[N];

il void add(int x,int y){
	edge[++tot]=y,next[tot]=head[x],head[x]=tot;
}
void tarjan(int x){
	dfn[x]=low[x]=++num;
	for(int i=head[x];i;i=next[i]){
		if(v[i]) continue;
		int y=edge[i];
		if(!dfn[y]){
			st[++top]=y;
			v[i]=v[i^1]=1;
			tarjan(y);
			v[i]=v[i^1]=0;
			low[x]=min(low[x],low[y]);
		}
		else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
	if(dfn[x]==low[x]){
		++cnt;
		while(top){
			dcc[st[top]]=cnt;
			if(st[top--]==x) break;
		}
	}
}
int main(){
	read(n),read(m);
	for(int x,y;m--;){
		read(x),read(y);
		add(x,y),add(y,x);
	}
	st[top=1]=1,tarjan(1);
	for(int i=2;i<=tot;i+=2){
		int x=edge[i],y=edge[i^1];
		if(dcc[x]==dcc[y]) continue;
		++deg[dcc[x]],++deg[dcc[y]];
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) ans+=deg[i]==1;
	printf("%d
",(ans+1)/2);
	return 0;
}