LG4718 【模板】Pollard-Rho算法 和 [Cqoi2016]密钥破解

Pollard-Rho算法

总结了各种卡常技巧的代码：

#define int long long
typedef __int128 LL;

IN int fpow(int a,int b,int mod){
	int ans=1%mod;
	for(;b;b>>=1,a=(LL)a*a%mod)
		if(b&1) ans=(LL)ans*a%mod;
	return ans;
}

CO int p[3]={2,61,10007};

bool Miller_Rabbin(int n){
	if(n==1) return 0;
	for(int i=0;i<3;++i)
		if(p[i]==n) return 1;
	for(int i=0;i<3;++i){
		if(fpow(p[i],n-1,n)!=1) return 0;
		int k=n-1,r=0; // k*2^r
		while(~k&1) k>>=1,++r;
		int last=fpow(p[i],k,n);
		for(int i=1;i<=r;++i){
			int now=(LL)last*last%n;
			if(now==1 and last!=1 and last!=n-1) return 0;
			last=now;
		}
	}
	return 1;
}

int Pollard_Rho(int n){
	if(Miller_Rabbin(n)) return n;
	while(1){
		int seed=(rand()|rand()<<15)%n;
		auto calc=[seed,n](int x){
			return ((LL)x*x+seed)%n;
		};
		int x=(rand()|rand()<<15)%n,y=x;
		int sum=1,step=0,point=1;
		while(sum){
			x=calc(x);
			sum=(LL)sum*(y+n-x)%n;
			if(++step==point){
				int d=__gcd(sum,n);
				if(1<d and d<n) return max(Pollard_Rho(d),Pollard_Rho(n/d));	
				y=x,point<<=1;
			}
		}
	}
}

void real_main(){
	int n=read<int>();
	int ans=Pollard_Rho(n);
	if(ans==n) puts("Prime");
	else printf("%lld
",ans);
}
signed main(){
//	freopen("LG4718.in","r",stdin),freopen("LG4718.out","w",stdout);
	srand(20030506);
	for(int T=read<int>();T--;) real_main();
	return 0;
}

密钥破解

一种非对称加密算法的密钥生成过程如下：

1. 任选两个不同的质数 p ，q
2. 计算 N=pq , r=(p-1)(q-1)
3. 选取小于r ，且与 r 互质的整数 e
4. 计算整数 d ，使得 ed≡1 mod r
5. 二元组 (N,e) 称为公钥，二元组 (N,d) 称为私钥

当需要加密消息 n 时（假设 n 是一个小于 N 整数，因为任何格式的消息都可转为整数表示），使用公钥 (N,e)，按照

n^e≡c mod N

运算，可得到密文 c 。

对密文 c 解密时，用私钥 (N,d) ，按照

c^d≡n mod N

运算，可得到原文 n 。算法正确性证明省略。

由于用公钥加密的密文仅能用对应的私钥解密，而不能用公钥解密，因此称为非对称加密算法。通常情况下，公钥由消息的接收方公开，而私钥由消息的接收方自己持有。这样任何发送消息的人都可以用公钥对消息加密，而只有消息的接收方自己能够解密消息。

现在，你的任务是寻找一种可行的方法来破解这种加密算法，即根据公钥破解出私钥，并据此解密密文。

Input

输入文件内容只有一行，为空格分隔的j个正整数e,N,c。N<=2^62,c<N

Output

输出文件内容只有一行，为空格分隔的k个整数d,n。

Sample Input

3 187 45

Sample Output

107 12
//样例中 p = 11, q = 17

题解

CQOI破解密码专场。推荐MoebiusMeow的博客。

虽然不知道为什么(x^{k(p-1)(q-1)+1}equiv 1 (mod pq))，但是分析题意我们只需要把(p,q)分解出来就行了。

所以用上Pollard-Rho大整数分解算法，以及Miller-Rabbin素性测试。然后其他的就是常规同余内用了。

最后说一下O(1)快速乘

queue<LL> arr;
il LL mul(LL a,LL b,LL mod){
	LL ans=a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod;
	return ans<0?ans+mod:ans;
}
LL pow(LL a,LL b,LL mod){
	LL ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a,mod))
		if(b&1) ans=mul(ans,a,mod);
	return ans;
}
LL gcd(LL a,LL b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
LL exgcd(LL a,LL b,LL&x,LL&y){
	if(!b) return x=1,y=0,a;
	LL z=exgcd(b,a%b,y,x);
	return y-=a/b*x,z;
}
LL Pollard_Rho(LL n,LL sed){
	LL i=1,k=2,x=rand()%(n-1)+1,y=x;
	while(true){
		x=(mul(x,x,n)+sed)%n;
		LL p=gcd(n,(y-x+n)%n);
		if(p!=1&&p!=n) return p;
		if(y==x) return n;
		if(++i==k) y=x,k<<=1;
	}
}
LL x[100];
bool Miller_Rabbin(LL n){
	if(n==2) return 1;
	LL s=20,t=0,u=n-1;
	while(!(u&1)) ++t,u>>=1;
	while(s--){
		LL a=rand()*rand()%(n-2)+2;
		x[0]=pow(a,u,n);
		for(int i=1;i<=t;++i){
			x[i]=mul(x[i-1],x[i-1],n);
			if(x[i]==1&&x[i-1]!=1&&x[i-1]!=n-1) return 0;
		}
		if(x[t]!=1) return 0; // Fermat
	}
	return 1;
}
void find(LL n,LL sed){
	if(n==1) return;
	if(Miller_Rabbin(n)) return arr.push(n);
	LL p=n,k=sed;
	while(p==n) p=Pollard_Rho(p,sed--);
	find(p,k),find(n/p,k);
}
LL p,q,e,d,N,c,r;
int main(){
	srand(19260817);
	read(e),read(N),read(c);
	find(N,107);
	p=arr.front(),arr.pop();
	q=arr.front(),arr.pop();
	exgcd(e,r=(p-1)*(q-1),d,*(new LL));
	d=(d%r+r)%r;
	printf("%lld %lld
",d,pow(c,d,N));
	return 0;
}