CF623E Transforming Sequence

Transforming Sequence

给定(n,k)。

让你构造序列(a(0<a_i<2^k))，满足(b_i(b_i=a_1 extrm{or} a_2 extrm{or} cdots extrm{or} a_i))严格单调递增。（or为按位或）

问你方案总数。对(10^9+7)取模。

(nleq 10^{18},kleq 30000)

zhouzhendong的题解

考虑有(k)个数位，要保证单调递增，由于是or运算，所以值为(1)的数位不管怎样或都不变了，所以每多一个(a_i)至少要多让一个数位变成(1)。

因为只有(k)个数位，所以(a)的元素个数最多有(n)个，即(nleq k)。当(n>k)时就是无解，输出0。

大力DP

设(dp_{i,j})表示前(i)个数占用了(j)个二进制位的方案数。注意这里不考虑占用的是哪几个二进制位，在最后乘以一个(inom{k}{n})就行了。

则不难列出转移方程：

[dp_{i+1,x}=sum_{j=0}^{x-1}2^jinom{x}{j}dp_{i,j} ]

注意(j)从(0)开始枚举其实和从(i)开始是等价的。

因为原本就是(1)的数位，新增的数的那一位不管是(0)还是(1)都等价，所以要乘(2^j)。组合数意义很明显。

但是这样太慢了，要TLE。

DP优化

我们发现这个DP可以成段的转移。

设原本有(x)个数，现在一下子加入(y)个数，写出转移方程：

[dp_{x+y,i}=sum_{j=0}^{i}2^{jy}inom{i}{j}dp_{x,j}cdot dp_{y,i-j} ]

其中，由于要加入(y)个数字，每一个数字都在原有的(j)个二进制位(1)中贡献了(2^j)的系数（和之前同理），所以总的系数贡献就是((2^j)^y=2^{jy})了。

我们发现这个是个多项式卷积的形式，所以可以直接FFT优化。注意这个FFT要拆系数，不然要爆long long。

这样的话我们可以运用倍增的套路来解决整个运算过程。

最终的答案就是(sum_{i=0}^{k}inom{k}{i}dp_{n,i})。

注意，我代码里面把(k)写成了(m)。时间复杂度(O(klog^2 k))。

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练习了一下拆系数，没有想象中的那么难，简单来说就是拆一个(2^{15})出来。总共要做7次FFT，感觉三模数就是个废物。

co double pi=acos(-1);
struct node {double x,y;};
il node operator+(co node&a,co node&b){
	return (node){a.x+b.x,a.y+b.y};
}
il node operator-(co node&a,co node&b){
	return (node){a.x-b.x,a.y-b.y};
}
il node operator*(co node&a,co node&b){
	return (node){a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x};
}

co int mod=1e9+7;
il int add(int a,int b){
	return (a+=b)>=mod?a-mod:a;
}
il int mul(int a,int b){
	return (LL)a*b%mod;
}
il int fpow(int a,int b){
	int ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))
		if(b&1) ans=mul(ans,a);
	return ans;
}

co int N=1<<17;
int n,m;
int fac[N],ifac[N];
node w[N],a1[N],a2[N],b1[N],b2[N],A[N],B[N],C[N];
int lim,len,rev[N];

void trans(node a[]){
	for(int i=0;i<lim;++i)
		if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int step=1;step<lim;step<<=1){
		int quot=lim/(step<<1);
		for(int i=0;i<lim;i+=step<<1){
			int j=i+step;
			for(int k=0;k<step;++k){
				node t=w[quot*k]*a[j+k];
				a[j+k]=a[i+k]-t,a[i+k]=a[i+k]+t;
			}
		}
	}
}
void mul_to(int a[],int b[],int c[]){
	for(int i=0;i<lim;++i){
		a1[i]=(node){a[i]>>15,0},a2[i]=(node){a[i]&0x7fff,0};
		b1[i]=(node){b[i]>>15,0},b2[i]=(node){b[i]&0x7fff,0};
	}
	trans(a1),trans(a2),trans(b1),trans(b2);
	for(int i=0;i<lim;++i){
		A[i]=a1[i]*b1[i];
		B[i]=a1[i]*b2[i]+a2[i]*b1[i];
		C[i]=a2[i]*b2[i];
		w[i].y=-w[i].y;
	}
	trans(A),trans(B),trans(C);
	for(int i=0;i<lim;++i){
		A[i].x=round(A[i].x/lim);
		B[i].x=round(B[i].x/lim);
		C[i].x=round(C[i].x/lim);
		c[i]=add(mul((LL)A[i].x%mod,(1LL<<30)%mod),add(mul((LL)B[i].x%mod,(1LL<<15)%mod),(LL)C[i].x%mod));
		w[i].y=-w[i].y;
	}
}

int f[N],g[N],D[N],E[N];

void merge(int a[],int b[],int c[],int&x,int&y){
	for(int i=0;i<lim;++i) D[i]=E[i]=0;
	for(int i=0;i<=m;++i){
		D[i]=mul(a[i],mul(ifac[i],fpow(2,(LL)y*i%(mod-1))));
		E[i]=mul(b[i],ifac[i]);
	}
	mul_to(D,E,c);
	for(int i=0;i<=m;++i) c[i]=mul(c[i],fac[i]);
	for(int i=m+1;i<lim;++i) c[i]=0;
	x+=y;
}

int main(){
	LL nn=read<LL>();read(m);
	if(nn>m) return puts("0"),0;
	else n=nn;
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[m]=fpow(fac[m],mod-2);
	for(int i=m-1;i>=0;--i) ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
	len=ceil(log2((m<<1)+1)),lim=1<<len;
	for(int i=0;i<lim;++i){
		rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<(len-1);
		w[i]=(node){cos(i*2*pi/lim),sin(i*2*pi/lim)};
	}
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i) g[i]=1; // g[0]=1 -> epsilon
	for(int x=0,y=1;y<=n;merge(g,g,g,y,y))
		if(n&y) merge(f,g,f,x,y);
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=m;++i)
		ans=add(ans,mul(f[i],mul(fac[m],mul(ifac[i],ifac[m-i]))));
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

这个Warning

narrowing conversion of '……' from 'int' to 'double' inside { } is ill-formed in C++11 [-Wnarrowing]

神烦，C++11跟我有什么关系。