征途
Pine开始了从S地到T地的征途。
从S地到T地的路可以划分成(n)段，相邻两段路的分界点设有休息站。
Pine计划用(m)天到达T地。除第(m)天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。
Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。
帮助Pine求出最小方差是多少。
设方差是(v)，可以证明，(v imes m^2)是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出(v imes m^2)。
对于 (100\%) 的数据，(1 le n le 3000)
题解
先推导一波方差。
[s^2=frac 1msum_{i=1}^m(overline{v}-v_i)^2\
=frac 1mleft(moverline{v}^2-2overline{v}sum_{i=1}^mv_i+sum_{i=1}^m v_i^2
ight)\
=-overline{v}^2+frac 1msum_{i=1}^m v_i^2
]
答案为
[s^2m^2=-left(sum_{i=1}^mv_i^2
ight)+msum_{i=1}^mv_i^2
]
所以要最小化的就是(sum_{i=1}^mv_i^2)。
斜率优化
设(f(i,j))表示前(i)天走了前(j)段路程的最小代价。
[f(i,j)=min_{0le k<j}{f(i-1,k)+(s_j-s_k)^2}
]
化成一次函数式
[2s_js_k+f(i,j)-s_j^2=f(i-1,k)+s_k^2
]
点坐标很明显，单调队列维护下凸包即可。
时间复杂度(O(mn))。话说我怎么几次都把(j)写成(i)，调了好久。
#include<bits/stdc++.h>
#define co const
#define il inline
template<class T> T read(){
T x=0,w=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*w;
}
template<class T>il T read(T&x){
return x=read<T>();
}
using namespace std;
#define int long long
co int N=3003;
int n,m,s[N];
int f[N][N],q[N];
int up(int i,int k1,int k2){
return f[i][k2]+s[k2]*s[k2]-f[i][k1]-s[k1]*s[k1];
}
int down(int k1,int k2){
return s[k2]-s[k1];
}
signed main(){
read(n),read(m);
for(int i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+read<int>();
for(int i=1;i<=n;++i) f[1][i]=s[i]*s[i];
for(int i=2;i<=m;++i){
int l=0,r=0;
for(int j=1;j<=n;++j){
while(l<r&&2LL*s[j]*down(q[l],q[l+1])>=up(i-1,q[l],q[l+1])) ++l;
int k=q[l];
f[i][j]=f[i-1][k]+(s[j]-s[k])*(s[j]-s[k]);
while(l<r&&up(i-1,q[r],j)*down(q[r-1],q[r])<=up(i-1,q[r-1],q[r])*down(q[r],j)) --r;
q[++r]=j; // edit 1:i->j
}
}
printf("%lld
",m*f[m][n]-s[n]*s[n]);
return 0;
}
导数零点二分
这道题更像一个wqs二分的模板题，我现在把它叫做导数零点二分。
为什么呢？推荐FlashHu的博客。
考虑(最优解-段数)的函数图像，给每一段追加的权值相当于左右移动导函数的零点。我们要做的就是让零点恰好是我们要求的段数。
时间复杂度(O(n log s_n))。
#include<bits/stdc++.h>
#define co const
#define il inline
template<class T> T read(){
T x=0,w=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*w;
}
template<class T>il T read(T&x){
return x=read<T>();
}
using namespace std;
#define int long long
co int N=3003;
int n,m,s[N];
int f[N],g[N];
int q[N],l,r;
int up(int a,int b){
return f[b]+s[b]*s[b]-f[a]-s[a]*s[a];
}
int down(int a,int b){
return s[b]-s[a];
}
void solve(int w){
q[l=r=0]=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
while(l<r&&2*s[i]*down(q[l],q[l+1])>up(q[l],q[l+1])) ++l; // edit 1:>=
f[i]=f[q[l]]+w+(s[i]-s[q[l]])*(s[i]-s[q[l]]),g[i]=g[q[l]]+1;
while(l<r&&up(q[r],i)*down(q[r-1],q[r])<up(q[r-1],q[r])*down(q[r],i)) --r;
q[++r]=i;
}
}
signed main(){
read(n),read(m);
for(int i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+read<int>();
int l=0,r=s[n]*s[n]/m,ans;
while(l<r){
int mid=(l+r)>>1;
solve(mid);
if(g[n]>m) l=mid+1;
else ans=m*(f[n]-mid*m)-s[n]*s[n],r=mid;
}
printf("%lld
",ans);
return 0;
}