LG1742 最小圆覆盖 和 LOJ6360 复燃「恋之埋火」

LG1742 最小圆覆盖

给出(N)个点，让你画一个最小的包含所有点的圆。

(Nleq 100000)。

随机增量法

https://www.luogu.com.cn/blog/boshi/solution-p1742

定理：如果点(p)不在集合(S)的最小覆盖圆内，则(p)一定在(Scup{p})的最小覆盖圆上。

根据这个定理，我们可以分三次确定前(i)个点的最小覆盖圆。

1. 令前(i-1)个点的最小覆盖圆为(C)
2. 如果第(i)个点在(C)内，则前(i)个点的最小覆盖圆也是(C)
3. 如果不在，那么第(i)个点一定在前(i)个点的最小覆盖圆上，接着确定前(i-1)个点中还有哪两个在最小覆盖圆上。因此，设当前圆心为(P_i)，半径为0，做固定了第(i)个点的前(i)个点的最小圆覆盖。
4. 固定了一个点：不停地在范围内找到第一个不在当前最小圆上的点(P_j)，设当前圆心为((P_i+P_j)/2)，半径为(frac{1}{2}|P_iP_j|)，做固定了两个点的，前(j)个点外加第(i)个点的最小圆覆盖。
5. 固定了两个点：不停地在范围内找到第一个不在当前最小圆上的点(P_k)，设当前圆为(P_i,P_j,P_k)的外接圆。

复杂度证明

由于一堆点最多只有(3)个点确定了最小覆盖圆，因此(n)个点中每个点参与确定最小覆盖圆的概率不大于(frac{3}{n})。

所以，每一层循环在第(i)个点处调用下一层的概率不大于(frac{3}{i})。

那么设算法的三个循环的复杂度分别为(T_1(n),T_2(n),T_3(n))，则有：

[T_1(n) = O(n) + sum_{i=1}^{n}{frac{3}{i}T_2(i)} ]

[T_2(n) = O(n) + sum_{i=1}^{n}{frac{3}{i}T_3(i)} ]

[T_3(n) = O(n) ]

不难解得，(T_1(n)=T_2(n)=T_3(n)=O(n))。

struct point {float128 x,y;};

IN point operator+(CO point&a,CO point&b){
	return {a.x+b.x,a.y+b.y};
}
IN point operator-(CO point&a,CO point&b){
	return {a.x-b.x,a.y-b.y};
}
IN point operator*(CO point&a,float128 k){
	return {a.x*k,a.y*k};
}
IN point operator/(CO point&a,float128 k){
	return {a.x/k,a.y/k};
}
IN float128 dot(CO point&a,CO point&b){
	return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
IN float128 cross(CO point&a,CO point&b){
	return a.x*b.y-a.y*b.x;
}

IN float128 dist(CO point&a,CO point&b){
	return sqrt(dot(b-a,b-a));
}
IN point rotate90(CO point&a){
	return {a.y,-a.x};
}
IN point intersect(CO point&a,CO point&u,CO point&b,CO point&v){
	return b+v*(cross(b-a,u)/cross(u,v));
}
IN point center(CO point&a,CO point&b,CO point&c){
	return intersect((a+b)/2,rotate90(b-a),(a+c)/2,rotate90(c-a));
}

CO int N=1e5+10;
point p[N];

int main(){
	srand(20030506);
	int n=read<int>();
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%Lf%Lf",&p[i].x,&p[i].y);
	random_shuffle(p+1,p+n+1);
	point c={};
	float128 r=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)if(dist(p[i],c)>r){
		c=p[i],r=0;
		for(int j=1;j<i;++j)if(dist(p[j],c)>r){
			c=(p[i]+p[j])/2,r=dist(p[j],c);
			for(int k=1;k<j;++k)if(dist(p[k],c)>r){
				c=center(p[i],p[j],p[k]),r=dist(p[k],c);
			}
		}
	}
	printf("%.10Lf
%.10Lf %.10Lf
",r,c.x,c.y);
	return 0;
}

LOJ6360 复燃「恋之埋火」

古明地恋(koishi)和小石子(koishi)是好朋友。​旧地狱的空中散布着许多颗小石子。恋恋想找出一个位置，使得这个位置离最远的小石子的距离尽可能小。

需要注意的是，这里的空间可能是高维空间。

对于100%的数据，(nleq 20000,mleq 5,0leq)所有坐标(leq 10^4)

题解

http://jklover.hs-blog.cf/2020/04/13/Loj-6360-复燃「恋之埋火」/

高维空间的最小圆覆盖.

题意就是要求(m)维空间内(n)个点的最小圆覆盖。

把二维的随机增量算法直接拓展到高维，不难发现复杂度的分析是类似的。

当我们已经加入(k)个点时，需要在这(k)个点所在的(k−1)维平面上找一个圆心,使得它到这(k)个点距离相等.

从这(k)个点中选一个点作为原点，它到另外(k−1)个点的(k−1)个向量显然就是这个平面的一组基底。

只需要求出这些向量各自的系数即可确定圆心。

根据圆心到原点和到其他任意一个点的距离相同，可以列出(k−1)个方程，高斯消元求出系数，进而确定圆心位置.

时间复杂度(O(nm^3))。

CO int N=2e4+10,M=10;
int n,m;

typedef valarray<float128> point;

float128 dist(CO point&a,CO point&b){
	float128 ans=0;
	for(int i=0;i<m;++i) ans+=(a[i]-b[i])*(a[i]-b[i]);
	return ans;
}

int id[M],k=0;
point p[N],center,vec[M];
float128 radius,a[M][M];

void find_center(){
	for(int i=0;i<=k;++i) fill(a[i],a[i]+k+1,0);
	for(int i=1;i<k;++i) vec[i]=p[id[i]]-p[id[0]];
	for(int i=1;i<k;++i)for(int j=0;j<m;++j){
		a[i][k]+=vec[i][j]*vec[i][j];
		for(int l=1;l<k;++l) a[i][l]+=2*vec[i][j]*vec[l][j];
	}
	for(int i=1;i<k;++i){
		int p=i;
		for(int j=i+1;j<k;++j)if(abs(a[j][i])>abs(a[p][i])) p=j;
		if(p!=i) swap(a[i],a[p]);
		for(int j=1;j<k;++j)if(j!=i){
			float128 t=a[j][i]/a[i][i];
			for(int l=1;l<=k;++l) a[j][l]-=a[i][l]*t;
		}
	}
	for(int i=0;i<m;++i) center[i]=0;
	for(int i=1;i<k;++i) center=center+(vec[i]*a[i][k]/a[i][i]);
	center=center+p[id[0]];
}
void dfs(int x,int bound){
	if(x>m) return;
	for(int i=0;i<bound;++i)if(dist(p[i],center)>radius){
		id[k++]=i;
		find_center();
		radius=dist(center,p[i]);
		dfs(x+1,i);
		--k;
	}
}

int main(){
	srand(20030506);
	read(n),read(m);
	for(int i=0;i<n;++i){
		p[i].resize(m);
		for(int j=0;j<m;++j) scanf("%Lf",&p[i][j]);
	}
	random_shuffle(p,p+n);
	center=p[0],radius=-1;
	dfs(0,n);
	for(int i=0;i<m;++i) printf("%.6Lf%c",center[i]," 
"[i==m-1]);
	return 0;
}

这个valarray到底是何方神圣？