回文自动机基础题

LG1659 拉拉队排练

n个女生从左到右排成一行，每个人手中都举了一个写有26个小写字母中的某一个的牌子

如果连续的一段女生，有奇数个，并且他们手中的牌子所写的字母，从左到右和从右到左读起来一样，那么这一段女生就被称作和谐小群体.

找出所有和谐小群体，并且按照女生的个数降序排序之后，前K个和谐小群体的女生个数的乘积是多少

答案除以19930726的余数

n ≤ 10⁶, k ≤ 10¹²

题解

学习了一下回文自动机，推荐nianheng的博客。

此题将状态将 len 排序后扫一遍就可以了。

时间复杂度(O(n))，回文自动机的复杂度分析似乎跟AC自动机一样。

注意写代码的时候新建节点要先处理信息再连边，否则 如果 last=1 的话 fail 可能会连向自己。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
	T x=0,w=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*w;
}
template<class T> T read(T&x){
	return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
typedef long long LL;

co int mod=19930726;
il int mul(int a,int b){
	return (LL)a*b%mod;
}
il int fpow(int a,int b){
	int ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))
		if(b&1) ans=mul(ans,a);
	return ans;
}

co int N=1000000+10;
int last,tot;
struct node{int ch[26],fa,len,siz;}s[N];
char str[N];

int get_fa(int x,int p){
	while(str[p-s[x].len-1]!=str[p]) x=s[x].fa;
	return x;
}
void extend(int p){
	int cur=get_fa(last,p);
	int now=s[cur].ch[str[p]-'a'];
	if(!now){
		now=++tot;
		s[now].fa=s[get_fa(s[cur].fa,p)].ch[str[p]-'a'];
		s[now].len=s[cur].len+2;
		s[cur].ch[str[p]-'a']=now; // edit 1: last=1
	}
	++s[now].siz;
	last=now;
}
il bool operator<(co node&a,co node&b){
	return a.len>b.len;
}
int main(){
	int n=read<int>();LL K=read<LL>();
	scanf("%s",str+1);
	last=tot=1;
	s[1].len=-1,s[0].fa=s[1].fa=1;
	for(int i=1;i<=n;++i) extend(i);
	for(int i=tot;i>=2;--i) s[s[i].fa].siz+=s[i].siz;
	sort(s+2,s+tot+1);
	int ans=1;
	for(int i=2;K;++i){
		if(i>tot) {puts("-1");return 0;}
		if(~s[i].len&1) continue;
		if(s[i].siz<K){
			K-=s[i].siz;
			ans=mul(ans,fpow(s[i].len,s[i].siz));
		}
		else{
			ans=mul(ans,fpow(s[i].len,K));
			K=0;
		}
	}
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

LG5496 【模板】回文自动机（PAM）

给定一个字符串 s。保证每个字符为小写字母。对于 s 的每个位置，请求出以该位置结尾的回文子串个数。

这个字符串被进行了加密，除了第一个字符，其他字符都需要通过上一个位置的答案来解密。

具体地，若第 i(i≥1) 个位置的答案是 k，第 i+1 个字符读入时的 ASCII 码为 c，则第 i+1 个字符实际的 ASCII 码为 (c−97+k) mod 26+97。所有字符在加密前后都为小写字母。

对于 100% 的数据， 1≤∣s∣≤5×10⁵。

题解

PAM可以额外维护两个有用的信息：

1. siz：表示节点 i 对应的回文串的出现次数
   siz 每次加入节点时+1，最后 fail 树上子树求和即可。
2. num：表示节点 i 包含的本质不同的回文串个数
   num 每次加入节点时，num[i]=num[fail[i]]+1

时间复杂度(O(n))。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
	T x=0,w=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*w;
}
template<class T> T read(T&x){
	return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
typedef long long LL;

co int N=500000+10;
int last=1,tot=1;
int ch[N][26],fa[N]={1,1},len[N]={0,-1},num[N];
char str[N];

int get_fa(int x,int pos){
	while(str[pos-len[x]-1]!=str[pos]) x=fa[x];
	return x;
}
int extend(int pos){
	int p=get_fa(last,pos);
	int x=ch[p][str[pos]-'a'];
	if(!x){
		x=++tot;
		fa[x]=ch[get_fa(fa[p],pos)][str[pos]-'a'];
		len[x]=len[p]+2;
		num[x]=num[fa[x]]+1;
		ch[p][str[pos]-'a']=x;
	}
	last=x;
	return num[x];
}
int main(){
	scanf("%s",str+1);int n=strlen(str+1);
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		str[i]=(str[i]-97+ans)%26+97;
		ans=extend(i);
		printf("%d ",ans);
	}
	return 0;
}

别忘了开long long。

BZOJ2565 最长双回文串

顺序和逆序读起来完全一样的串叫做回文串。比如acbca是回文串，而abc不是（abc的顺序为“abc”，逆序为“cba”，不相同）。

输入长度为n的串S，求S的最长双回文子串T,即可将T分为两部分X，Y，（|X|,|Y|≥1）且X和Y都是回文串。

题解

正着倒着做一遍就完了。使用namespace很方便。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
	T x=0,w=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*w;
}
template<class T> T read(T&x){
	return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
typedef long long LL;

co int N=100000+10;
char s[N];

namespace T1{
	int last=1,tot=1;
	int ch[N][26],fa[N]={1,1},len[N]={0,-1},ref[N];
	
	int get_fa(int x,int i){
		while(s[i-len[x]-1]!=s[i]) x=fa[x];
		return x;
	}
	void extend(int i){
		int p=get_fa(last,i);
		int x=ch[p][s[i]-'a'];
		if(!x){
			x=++tot;
			fa[x]=ch[get_fa(fa[p],i)][s[i]-'a'];
			len[x]=len[p]+2;
			ch[p][s[i]-'a']=x;
		}
		ref[i]=x;
		last=x;
	}
}
namespace T2{
	int last=1,tot=1;
	int ch[N][26],fa[N]={1,1},len[N]={0,-1},ref[N];
	
	int get_fa(int x,int i){
		while(s[i+len[x]+1]!=s[i]) x=fa[x];
		return x;
	}
	void extend(int i){
		int p=get_fa(last,i);
		int x=ch[p][s[i]-'a'];
		if(!x){
			x=++tot;
			fa[x]=ch[get_fa(fa[p],i)][s[i]-'a'];
			len[x]=len[p]+2;
			ch[p][s[i]-'a']=x;
		}
		ref[i]=x;
		last=x;
	}
}

int main(){
	scanf("%s",s+1);int n=strlen(s+1);
	for(int i=1;i<=n;++i) T1::extend(i);
	for(int i=n;i>=1;--i) T2::extend(i);
	int ans=0;
	for(int i=1;i<n;++i)
		ans=max(ans,T1::len[T1::ref[i]]+T2::len[T2::ref[i+1]]);
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

CF17E Palisection

给你一个字符串，让你求出有多少对相交的回文子串。

1 ≤ n ≤ 2·10⁶

题解

正难则反，求相交会很难搞。把问题转化成求互不相交的回文子串再减一下就行了。

不相交就正着倒着做一遍就行了。

注意这题卡空间，于是我用unordered_map来搞。

struct pairhash{
	size_t operator()(CO pair<int,int>&x)CO{
		return x.first^(~x.second);
	}
};

CO int N=2000000+10;
namespace PAM{
	int str[N],n;
	int last,tot;
	tr1::unordered_map<pair<int,int>,int,pairhash> ch;
	int len[N],fa[N],dep[N];
	
	void init(){
		memset(str,-1,sizeof str),n=0;
		last=tot=1;
		len[0]=0,len[1]=-1,fa[0]=fa[1]=1;
	}
	int get_fail(int x){
		while(str[n-len[x]-1]!=str[n]) x=fa[x];
		return x;
	}
	void extend(int c){
		str[++n]=c;
		int p=get_fail(last);
		if(!ch[make_pair(p,c)]){
			int cur=++tot;
			len[cur]=len[p]+2;
			fa[cur]=ch[make_pair(get_fail(fa[p]),c)];
			ch[make_pair(p,c)]=cur;
			dep[cur]=dep[fa[cur]]+1;
		}
		last=ch[make_pair(p,c)];
	}
}

char str[N];
int pre[N];

int main(){
	int n=read<int>();
	scanf("%s",str+1);
	PAM::init();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		PAM::extend(str[i]-'a');
		pre[i]=add(pre[i-1],PAM::dep[PAM::last]);
	}
	int ans=(LL)pre[n]*(pre[n]-1)/2%mod;
	PAM::init();
	for(int i=n;i>=1;--i){
		PAM::extend(str[i]-'a');
		ans=add(ans,mod-mul(pre[i-1],PAM::dep[PAM::last]));
	}
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

JSOI2013 快乐的jyy

给定两个字符串A和B，表示JYY的两个朋友的名字。我们用A(i,j)表示A字符串中从第i个字母到第j个字母所组成的子串。同样的，我们也可以定义B(x,y)。

JYY发现两个朋友关系的紧密程度，等于同时满足如下条件的四元组(i,j,x,y)的个数：

1. 1<=i<=j<=|A| （这里|A|表示字符串A的长度）
2. 1<=x<=y<=|B|
3. A(i,j)=B(x,y)
4. A(i,j)是回文串

JYY希望你帮助他计算出这两个朋友之间关系的紧密程度。

题解

把两个串插入到同一个回文自动机里面 , 记录每一个回文串中两个字符串出现的次数 size[0/1].
相乘就是一组回文串的贡献 , 答案就是 ∑size[i][0]∗size[i][1]

插入第二个串的时候要把last设成1.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
	T x=0,w=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*w;
}
template<class T> T read(T&x){
	return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
typedef long long LL;

co int N=50000+10;
char s[N];
int last=1,tot=1,T;
int ch[N][26],fa[N]={1,1},len[N]={0,-1},siz[N][2];

int get_fa(int x,int i){
	while(s[i-len[x]-1]!=s[i]) x=fa[x];
	return x;
}
void extend(int i){
	int p=get_fa(last,i);
	int x=ch[p][s[i]-'A'];
	if(!x){
		x=++tot;
		fa[x]=ch[get_fa(fa[p],i)][s[i]-'A'];
		len[x]=len[p]+2;
		ch[p][s[i]-'A']=x;
	}
	++siz[x][T];
	last=x;
}
int main(){
	scanf("%s",s+1);int n=strlen(s+1);
	for(int i=1;i<=n;++i) extend(i);
	scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);
	last=1,T=1;
	for(int i=1;i<=n;++i) extend(i);
	LL ans=0;
	for(int i=tot;i>=2;--i){
		siz[fa[i]][0]+=siz[i][0],siz[fa[i]][1]+=siz[i][1];
		ans+=(LL)siz[i][0]*siz[i][1];
	}
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}

Antisymmetry

对于一个01字符串，如果将这个字符串0和1取反后，再将整个串反过来和原串一样，就称作“反对称”字符串。比如00001111和010101就是反对称的，1001就不是。
现在给出一个长度为N的01字符串，求它有多少个子串是反对称的。

N <= 500,000

manacher

manacher匹配的时候改一下匹配条件就可以了，只要两个数相加等于一时就可以，一定要注意是不存在奇数串的，而且统计的时候要用long long，还要除以二。

时间复杂度(O(n))。

话说那个哈希+二分也可以过，利用一个反对称串长度一定为偶数,且后半段取反后形成回文串，不过实现和复杂度显然没有manacher更优。

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read()
{
	rg T data=0;
	rg int w=1;
	rg char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
		if(ch=='-')
			w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
	{
		data=data*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x)
{
	return x=read<T>();
}
typedef long long ll;

co int N=1e6+1;
char s[N],a[N*2];
int p[N*2];
int n,m;

void manacher()
{
	m=2*n+1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i*2]=s[i],a[i*2+1]='#';
	a[0]='+',a[1]='#',a[m+1]='-';
	int mx=0,id=0;
	for(int i=1;i<=m;i+=2)
	{
		if(mx>i)
			p[i]=std::min(p[2*id-i],mx-i);
		else
			p[i]=1;
		while(a[i+p[i]]-'0'+a[i-p[i]]-'0'==1||(a[i+p[i]]==a[i-p[i]]&&a[i+p[i]]=='#'))
			++p[i];
		if(i+p[i]>mx)
			mx=i+p[i],id=i;
	}
}

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n);
	scanf("%s",s+1);
	manacher();
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i+=2)
		ans+=(p[i]-1)/2;
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}

回文自动机

因为我新学了PAM，所以这篇博客更新了。

根本上来说只要把==改成!=即可，但是这样一来很多停止条件就没了，需要很多特判手动刹车，最后统计一下size即可

但是!=是一个很弱的条件，改成相加为1更好。

要去掉长度为奇数的回文串。方法是如果跳 p 跳到 1 了，直接 last=0;return;`即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
	T x=0,w=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*w;
}
template<class T> T read(T&x){
	return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
typedef long long LL;

co int N=500000+10;
char s[N];
int last=1,tot=1;
int ch[N][26],fa[N]={1,1},len[N]={0,-1},siz[N];

int get_fa(int x,int i){
	while(x!=1&&s[i-len[x]-1]-'0'+s[i]-'0'!=1) x=fa[x];
	return x;
}
void extend(int i){
	int p=get_fa(last,i);
	if(p==1) {last=0;return;}
	int x=ch[p][s[i]-'0'];
	if(!x){
		x=++tot;
		int q=get_fa(fa[p],i);
		if(q==1) fa[x]=0;
		else fa[x]=ch[q][s[i]-'0'];
		len[x]=len[p]+2;
		ch[p][s[i]-'0']=x;
	}
	++siz[x];
	last=x;
}
int main(){
	int n=read<int>();
	scanf("%s",s+1);
	for(int i=1;i<=n;++i) extend(i);
	int ans=0;
	for(int i=tot;i>=2;--i){
		ans+=siz[i];
		siz[fa[i]]+=siz[i];
	}
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}