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  • 【组合数】【乘法逆元】 Codeforces Round #404 (Div. 2) D. Anton and School

    http://codeforces.com/blog/entry/50996

    官方题解讲得很明白,在这里我复述一下。

    枚举每个左括号,考虑计算一定包含其的简单括号序列的个数,只考虑其及其左侧的左括号,以及其右侧的右括号。最后答案就是其之和。

    可以将其提取出来这样((((((())),红色为当前左括号。设有x个左,y个右

    要注意,这个答案为C(x+y-1,x),来证明。

    我们只需证明,这个答案与长度为x+y-1的,包含x个1的零一序列的种类数相等即可。

    随便写一个这样的零一序列,长度为x+y,但当前的左括号的位置一定是零。

    比如1101000111,除了红色位置以外,设有z个右括号对应1,那么有(x-z)个左括号对应1,那么有(x-1-(x-z))=z-1个左括号对应0。

    恰好枚举遍了包含1,2,...,y个右括号,0,1,...,y-1个左括号(不含当前位置)的所有情况。于是显然这个答案是对的。

    具体算的时候,预处理一下阶乘,暴力搞一下逆元就行了。

    #include<cstdio>
    #include<iostream>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    #define MOD 1000000007ll
    ll Quick_Pow(ll a,ll p)
    {
        if(!p){
        	return 1;
        }
        ll ans=Quick_Pow(a,p>>1);
        ans=ans*ans%MOD;
        if((p&1)==1){
        	ans=ans*a%MOD;
        }
        return ans;
    }
    int n;
    char a[200010];
    ll jc[200010],ans,sumr;
    int main(){
    //	freopen("d.in","r",stdin);
    	scanf("%s",a+1);
    	n=strlen(a+1);
    	jc[0]=1ll;
    	for(int i=1;i<=n;++i){
    		jc[i]=(jc[i-1]*(ll)i)%MOD;
    	}
    	for(int i=1;i<=n;++i){
    		sumr+=(a[i]==')');
    	}
    	int x=0,y=0;
    	for(int i=1;i<=n;++i){
    		if(a[i]=='('){
    			++x;
    		}
    		else{
    			++y;
    		}
    		if(sumr-y>=1 && a[i]=='('){
    			ans=(ans+(((jc[x+sumr-y-1]*Quick_Pow(jc[x],MOD-2ll))%MOD)*Quick_Pow(jc[sumr-y-1],MOD-2ll))%MOD)%MOD;
    		}
    	}
    	cout<<ans<<endl;
    	return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/autsky-jadek/p/6562610.html
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