导数——平均变化率与瞬时变化率

 

本讲教育信息】

一. 教学内容：

       导数——平均变化率与瞬时变化率

二. 本周教学目标：

1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵．

2、通过函数图象直观理解导数的几何意义．

 

三. 本周知识要点：

（一）平均变化率

1、情境：观察某市某天的气温变化图

 

2、一般地,函数f（x）在区间[x₁，x₂]上的平均变化率

平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．

（二）瞬时变化率——导数

 

1、曲线的切线

如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ，当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线

割线PQ的斜率为，即当时，无限趋近于点P的斜率．

2、瞬时速度与瞬时加速度

1）瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度.

2）确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：

要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA₁，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.

当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度．

我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s＝s（t），也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t₀，t₀+Δt，现在问从t₀到t₀+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：

位移为Δs＝s（t₀+Δt）－s（t₀）（Δt称时间增量）

平均速度

根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.

现在是从t₀到t₀+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0．当Δt→0时，位移的平均变化率无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体在t＝ t₀的瞬时速度

同样，计算运动物体速度的平均变化率，当Δt→0时，平均速度无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t＝ t₀时的瞬时加速度．

3、导数

设函数在（a,b）上有定义，．若无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作．

几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率．

导函数（导数）：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作．

 

【典型例题】

例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积（单位：），计算第一个10s内V的平均变化率．

 

解：在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为

    

即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为．

例2、已知函数，，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数及的平均变化率．

解：函数在[－3，－1]上的平均变化率为

在[－3,－1]上的平均变化率为

函数在[0，5]上的平均变化率为

在[0，5]上的平均变化率为

 

例3、已知函数，分别计算函数在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．

解：函数在区间[1，3]上的平均变化率为

函数在[1，2]上的平均变化率为

函数在[1，1.1]上的平均变化率为

函数在[1，1.001]上的平均变化率为

 

例4、物体自由落体的运动方程s＝s（t）＝gt²，其中位移单位m，时间单位s，g＝9.8 m/s². 求t＝3这一时段的速度.

解：取一小段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs＝g（3+Δt）²－g·3²＝（6+Δt）Δt，平均速度g（6+Δt）

当Δt无限趋于0时，无限趋于3g＝29.4 m/s．

例5、已知质点M按规律s＝2t²+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），

（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求.

（2）当t＝2，Δt＝0.001时，求.

（3）求质点M在t＝2时的瞬时速度.

分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，即平均速度，当Δt越小，求出的越接近某时刻的速度.

解：∵＝4t+2Δt

∴（1）当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s．

（2）当t＝2，Δt＝0.001时，＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s．

（3） Δt0， （4t+2Δt）＝4t＝4×2＝8 cm/s 

 

例6、曲线的方程为y＝x²+1，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线的斜率，以及切线的方程．

解：设Q（1+，2+），则割线PQ的斜率为：

斜率为2

∴切线的斜率为2．

切线的方程为y－2＝2（x－1），即y＝2x．

【模拟试题】

1、若函数f（x）＝2x²+1，图象上P（1,3）及邻近点Q（1+Δx,3+Δy）， 则＝（   ）

A. 4       B. 4Δx         C. 4+2Δx           D. 2Δx

2、一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么时，为（     ）

A. 从时间到时，物体的平均速度； B. 在时刻时该物体的瞬时速度；  

C. 当时间为时物体的速度；           D. 从时间到时物体的平均速度

3、已知曲线y＝2x²上一点A（1，2），求（1）点A处的切线的斜率.（2）点A处的切线方程.

4、求曲线y＝x²+1在点P（－2，5）处的切线方程．

5、求y＝2x²+4x在点x＝3处的导数．

6、一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s＝s（t）＝t²（位移单位：m，时间单位：s），求小球在t＝5时的瞬时速度

7、质点M按规律s＝2t²+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），求质点M在t＝2时的瞬时速度．

 

 

 

【试题答案】

1、B   

2、B

3、解：（1）时，k＝

∴点A处的切线的斜率为4.

（2）点A处的切线方程是y－2＝4（x－1）即y＝4x－2

4、解：时，k＝

∴切线方程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3.

5、解：Δy＝2（3+Δx）²+4（3+Δx）－（2×3²+4×3）＝2（Δx）²+16Δx，＝2Δx+16

∴时，y′|_x＝3＝16

6、解：时，瞬时速度v＝（10+Δt）＝10 m/s.

∴瞬时速度v＝2t＝2×5＝10 m/s.

7、解：时，瞬时速度v＝＝（8+2Δt）＝8cm/s