ACF/PACF，残差白噪声的检验问题

关于自相关、偏自相关：

一、自协方差和自相关系数

      p阶自回归AR(p)

      自协方差 r(t,s)=E[X(t)-EX(t)][X(s)-EX(s)]

      自相关系数ACF=r(s,t)/[(DX(t).DX(s))^0.5]

 

二、平稳时间序列自协方差与自相关系数

      1、平稳时间序列可以定义r(k)为时间序列的延迟k自协方差函数：

           r(k)=r(t,t+k)=E[X(t)-EX(t)][X(t+k)-EX(t+k)]

      2、平稳时间序列的方差相等DX(t)=DX(t+k)=σ2，

            所以DX(t)*DX(t+k)=σ2*σ2，

            所以[DX(t)*DX(t+k)]^0.5=σ2

            而r(0)=r(t,t)=E[X(t)-EX(t)][X(t)-EX(t)]=E[X(t)-EX(t)]^2=DX(t)=σ2

         简而言之，r(0)就是自己与自己的协方差，就是方差，

         所以，平稳时间序列延迟k的自相关系数ACF等于：

                p(k)=r(t,t+k)/[(DX(t).DX(t+k))^0.5]=r(k)/σ2=r(k)/r(0)

     3、平稳AR(p)的自相关系数具有两个显著特征：一是拖尾性；二是呈负指数衰减。

 

 三、偏相关系数

       对于一个平稳AR(p)模型，求出滞后k自相关系数p(k)时，实际上得到并不是x(t)与x(t-k)之间单纯的相关关系。因为x(t)同时还会受到中间k-1个随机变量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的影响，而这k-1个随机变量又都和x(t-k)具有相关关系，所以自相关系数p(k)里实际掺杂了其他变量对x(t)与x(t-k)的影响。

       为了能单纯测度x(t-k)对x(t)的影响，引进偏自相关系数的概念。

        对于平稳时间序列{x(t)}，所谓滞后k偏自相关系数指在给定中间k-1个随机变量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的干扰之后，x(t-k)对x(t)影响的相关程度。用数学语言描述就是：

      p[(x(t),x(t-k)]|(x(t-1),……，x(t-k+1)={E[(x(t)-Ex(t)][x(t-k)-Ex(t-k)]}/E{[x(t-k)-Ex(t-k)]^2}

    这就是滞后k偏自相关系数的定义。

1.什么是白噪声？
答：白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。白噪声或白杂讯，是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让我们在数学分析上更加方便。然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。高斯白噪声：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。所谓高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。
       高斯白噪声的概念——"白"指功率谱恒定;高斯指幅度取各种值时的概率p (x)是高斯函数
       高斯噪声——n维分布都服从高斯分布的噪声
       高斯分布——也称正态分布，又称常态分布。对于随机变量X，记为N（μ，σ2），分别为高斯分布的期望和方差。当有确定值时，p (x)也就确定了，特别当μ=0，σ2=1时，X的分布为标准正态分布。 

2.为什么残差要是白噪声？
答：得到白噪声序列，就说明时间序列中有用的信息已经被提取完毕了，剩下的全是随机扰动，是无法预测和使用的，残差序列如果通过了白噪声检验，则建模就可以终止了，因为没有信息可以继续提取。如果残差不是白噪声，就说明残差中还有有用的信息，需要修改模型或者进一步提取。

3.怎样对白噪声进行检验？
答：白噪声检验的步骤为：打开resid序列，view，correlogram，差分阶数选择level，确定，看q统计量的伴随p值是不是很大就行了。

4.如何对Q统计量做理解？
答：论坛里有些坛友写的资料，拿过来一起分享一下：http://bbs.pinggu.org/thread-2120615-1-1.html