树状数组浅谈

什么是树状数组？

百度原文

·树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素####的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

·这种数据结构（算法）并没有C++和Java的库支持，需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树

状数组效率要高很多。

经典图示

为什么要选择树状数组？

因为树状数组能够做到大数据下快速计算区间、区间异或和、区间乘积和区间最大值和最小值等基本上一切区间的操作。

怎么实现？

lowbit函数

什么是lowbit函数？

lowbit函数即为求二进制数的最右边的1的值，例如6(110)lowbit(6)=2;

怎么实现lowbit函数？

int lowbit(int x)
{
  return x&(-x);
}

证明转载

把这个数的二进制写出来，然后从右向左找到第一个1(这个1就是我们要求的结果，但是现在表示不出来，后来的操作就是让这个1能表示出来)，这个1不要动和这个1右边的二进制不变，左边的二进制依次取反，这样就求出的一个数的补码，说这个方法主要是让我们理解一个负数的补码在二进制上的特征，然后我们把这个负数对应的正数与该负数与运算一下，由于这个1的左边的二进制与正数的原码对应的部分是相反的，所以相与一定都为0,；由于这个1和这个1右边的二进制都是不变的，因此，相与后还是原来的样子，故，这样搞出来的结果就是lowbit(x)的结果。

update函数

什么是update函数？

update函数即为更改单个值后树状数组的更新函数

怎么实现update？

void update(int x,int k)
{
  for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
  tree[i]+=k;
}

sum函数

什么是sum函数？

即为求前缀区间和的函数

怎么实现sum函数？

int sum(int x)
{
  int ans=0;
  for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
  ans+=tree[i];
  return ans;
}

完整模板

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int tree[500010];
int n,m;
int lowbit(int x)
{
  return x&(-x);
}
void update(int x,int k)
{
  for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
  tree[i]+=k;
}
int sum(int x)
{
  int ans=0;
  for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
  ans+=tree[i];
  return ans;
}
int main()
{
  cin>>n>>m;
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    int a;
    cin>>a;
    update(i,a);
  }
  for(int i=1;i<=m;i++)
  {
    int t1,t2,t3;
    cin>>t1>>t2>>t3;
    if(t1==1)
    update(t2,t3);
    else
    cout<<sum(t3)-sum(t2-1)<<endl;
  }
}

改版树状数组

如何改版？

原来朴素的树状数组只是单个元素的更改以及求区间的答案，现在倒过来对区间元素的修改求单个元素的值

如何实现？

用普通的树状数组维护差分数组即可

什么是差分数组？

基本思路

维护差分数组的值，更改区间和仅仅只需要更改区间的左端点和右端点+1的值，然后输出一个原数组的项，那么就是求差分数组的前i项和

完整模板

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int tree[500010];
int n,m;
int lowbit(int x)
{
  return x&(-x);
}
void update(int x,int k)
{
  for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
  tree[i]+=k;
}
int sum(int x)
{
  int ans=0;
  for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
  ans+=tree[i];
  return ans;
}
int main()
{
  cin>>n>>m;
  int last=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    int a;
    cin>>a;
    update(i,a-last);
    last=a;
  }
  for(int i=1;i<=m;i++)
  {
    int t1;
    cin>>t1;
    if(t1==1)
    {
      int t2,t3,t4;
      cin>>t2>>t3>>t4;
      update(t2,t4);
      update(t3+1,-t4);
    }
    else
    {
      int t2;
      cin>>t2;
      cout<<sum(t2)<<endl;
    }
  }
}