【洛谷P1908】逆序对

题目描述

猫猫TOM和小老鼠JERRY最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。最近，TOM老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中ai>aj且i<j的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。

输入输出格式

输入格式：

第一行，一个数n，表示序列中有n个数。

第二行n个数，表示给定的序列。

输出格式：

给定序列中逆序对的数目。

输入输出样例

输入样例#1：

6
5 4 2 6 3 1

输出样例#1：

11

说明

对于50%的数据，n≤2500

对于100%的数据，n≤40000。

 

题解

树状数组

用树状数组的话首先要离散化。

为什么要用离散化?举个例子就明白了。

假如读入两个数字1，1000000。那么数组是不是也要开那么大呢？显然没有这个必要。

数组只要开到3就足够了，我们要的是大小关系而不是具体数字。所以原读入等价于读入数字1，2。

离散化的具体操作

假如读入一个数组a[]={2,6,3,8};只需要记录每一个元素的位置，然后再将原数组重新排序，假设从小到大排序a[]={2,3,6,8}。设b[]为离散化之后的数组,那么b[原来元素的下标]=i;那么离散化后b[]={1,3,2,4}。总的来说离散化就是把离散的数据重新赋值，使数据变得密集来减少空间浪费。

这样的话用树状数组就方便了,数组的大小只需要开到元素的个数多一点。

逆序对操作

若c[]是树状数组的话，则getsum(i)表示小于等于i元素的个数,我们从左到右每插入一个元素对应元素的个数就加一：update(b[i],1);根据c[i]表示的意义，那么getsum(i)就是小于等于b[i]并且在i左面的元素的个数，因为我们要求的是逆序对，也就是在i左面且大于b[i]的元素的个数，这个好办，我们只需要拿i(也就是现在已经插入元素的个数)-getsum(i)剩下的就是在i左面且大于b[i]的元素的个数了。

本题数据水不用处理相同元素，具体操作看代码。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=40000+5;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,c[maxn],b[maxn];
struct node
{
    int v,id;
    bool operator < (const node &j) const {
        return v<j.v;
    }
}a[maxn];
inline void update(int x,int d)
{
    for(;x<=n;x+=x&(-x)) c[x]+=d;
}
inline int getsum(int x)
{
    int ans=0;
    for(;x;x-=x&(-x)) ans+=c[x];
    return ans;
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i].v=read();
        a[i].id=i;
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        b[a[i].id]=i;
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        update(b[i],1);
        ans+=i-getsum(b[i]);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

归并排序