算法复杂性表示

算法复杂性可以用O,Ω, o, ω, θ 5个字母表示.

O表示算法复杂性的上限.  Ω表示算法复杂性下限.

o表示算法函数比o中的函数低阶. o与O对应, 是下限了.

如复杂度为f(n), o(g(n))表示f(n)比g(n)低阶. 像f(n)=n, g(n)=n^2, f(n)就比g(n)低一阶.如果g(n)=2n, f(n)与g(n)为同阶.

ω与Ω对应, ω中的函数比f(n)高阶.

θ表示f(n), g(n)同阶.

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以下设f(N)和g(N)是定义在正数集上的正函数。

O: 

如果存在正的常数C和自然数N₀，使得当N≥N₀时有f(N)≤Cg(N)。则称函数f(N)当N充分大时上有界，且g(N)是它的一个上界，记为f(N)=Ο(g(N))。这时我们还说f(N)的阶不高于g(N)的阶。 

 Ω:

 关于记号Ω，定义如下：如果存在正的常数C和自然数N₀，使得当N≥N₀时有f(N)≥Cg(N)，则称函数f(N)当N充分大时下有界，且g(N)是它的一个下界，记为f(N)=Ω(g(N))。这时我们还说f(N)的阶不低于g(N)的阶。

θ:

记号θ将随之清楚，因为我们定义f(N)=θ(g(N))则f(N)=Ο(g(N)) 且f(N)=Ω(g(N))。这时，我们说f(N)与g(N)同阶。比如，对于算法Search在最坏情况下的时间复杂性T_max(m)。已有T_max(m)=Ο(m)和T_max(m)=Ω(m)，所以有T_max(m)=θ(m)，这是对T_max(m)的阶的精确估计。

 o:

如果对于任意给定的ε≥0，都存在非负整数N₀，使得当N≥N₀时有f(N)≤εg(N)，则称函数f(N)当N充分大时比g(N)低阶，记为f(N)= o(g(N))，例如：4NlogN +7=o(3N ²+4NlogN+7)

 ω:

f(N)=ω(g(N))定义为g(N)=o(f(N))。即当N充分大时f(N)的阶比g(N)高。

按照大Ο的定义，容易证明它有如下运算规则：

1. Ο(f)+Ο(g)=Ο(max(f,g))；
2. Ο(f)+ Ο(g)=Ο(f +g)；
3. Ο(f)·Ο(g)= Ο(f·g)；
4. 如果g(N)= Ο(f(N))，则Ο(f)+ Ο(g)= Ο(f)；
5. Ο(Cf(N))= Ο(f(N))，其中C是一个正的常数；
6. f =Ο(f)；