杜教筛学习笔记

杜教筛的作用是可以快速求出积性函数的前缀和，相比于传统的线性筛，杜教筛可以在(O(n^{2/3}))的时间求出积性函数的前缀和。

PS：一下所有除法运算为向下取整（不知道向下取整的LaTex）

前置芝士1：积性函数

什么是积性函数呢？若a⊥b（a,b互质），那么有(f(ab)=f(a)f(b)) 则称(f(x))的积性函数。

前置芝士2：狄利克雷卷积

定义两个积性函数的狄利克雷卷积为((f*g)(i)=sum_{d|n}f(d))*$g(frac{d}{n}) $

给出几个常见的狄利克雷卷积的结论

((I(x)=1,id(x)=x,epsilon(x)=[x==1]))

1.(mu*I=epsilon)

证明：(mu*I=sum_{d|n}mu(d)*I(frac{n}{d})=sum_{d|n}mu(d)=[n==1]=epsilon)

倒数第二步是莫比乌斯函数的一个结论

2.(φ*I=id(n))

证明：(φ*I=sum_{d|n}φ(d)*I(frac{n}{d})=sum_{d|n}φ(d)=n=id(n))

对于倒数第二步，考虑统计与(n)的(gcd)分别为(1,2,...,n)的过程：

对于(1-n)所有数，与(n)的(gcd)为(1)的有(φ(n))个；若(2|n)，则与(n)的(gcd)为2有(φ(frac{n}{2}))个……以此类推，总共有(n)个数，故(sum_{d|n}φ(d)=n)

3.(id*mu=φ(n))

证明：
(φ(n)*I*mu=id*mu)----------结论2可知

(φ(n)*epsilon=id*mu)-------------结论1可知

(φ(n)=id*mu)----------------把卷积拆开即可

前置芝士3：莫比乌斯反演

若(f=g*I)，则有(g=f*mu)

我们把卷积拆开

原式为：若(f(n)=sum_{d|n}g(d))，则有(g(n)=sum_{d|n}f(frac{n}{d})*mu(d))

证明：(f*mu=g*I*mu=g*epsilon=g)

所以(1)的逆是(mu)

正文：杜教筛

我们构造积性函数f,g，令(S(n)=sum_{i=1}^{n}f(i))

(sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)=sum_{i=1}^{n}sum_{d|n}f(d)*g(frac{n}{d})=sum_{i=1}^{n}g(i)*sum_{j=1}^{[frac{n}{i}]}f(j)=sum_{i=1}^{n}g(i)*S(frac{n}{i}))

移向得：(g(1)*S(n)=sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-sum_{i=2}^{n}g(i)*S(frac{n}{i}))

(S(n)=frac{sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-sum_{i=2}^{n}g(i)*S(frac{n}{i})}{g(1)})//以后称此为杜教筛公式

我们发现，S(n)是我们所求，我们把S(n)拆成了递归形式，假设我们可以求出(sum_{i=1}^{n}(f*g)(i))，(g(x))，我们就可以对(sum_{i=2}^{n}g(i)*S(frac{n}{i}))进行整除分块，从而递归求出(S(N))！

看懂了上述证明，那本题就很简单了吧。

一：(sum_{i=1}^{n}mu(i))

因为(mu*I=epsilon) ，所以我们定义(g=I)，带入杜教筛公式得(S(n)=1-sum_{i=2}^{n}S(frac{n}{i}))，然后就是整除分块的模板了

二：(sum_{i=1}^{n}φ(i))

因为(φ*I=id(n))（其实也可以用(φ(n)=id*mu)），所以我们还是定义(g=I)，带入杜教筛公式得(S(n)=frac{(1+x)*x}{2}-sum_{i=2}^{n}S(frac{n}{i}))，然后发现和上面区别并不大

这样直接求显然是不能做到非线性的，所以我们需要先预处理出一部分的(φ(i),mu(i))，然后对于我们处理过的答案，我们可以用一个map来存储（相当于记忆化搜索）以优化时间复杂度。

经过理论证明，当预处理的值=(n^{frac{2}{3}})时，时间复杂度为(O(n^{frac{2}{3}}))

注意几点：

1.本题卡常，所以不要全部开longlong，也不要用map，而用c++11的STL：unordered_map（少了map的排序，复杂度不带log，但常数仍然很大，而且本地要开c++11才能过编译）

2.注意杜教筛的公式，(sum_{i=2}^{n}g(i)*S(frac{n}{i}))是从2开始的，不然会进入死递归（我也不知道叫什么）

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define debug printf("Now is Line : %d
",__LINE__)
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin);freopen(#a".out","w",stdout)
#define ll long long
#define mod 1000000007
il int read()
{
    re int x=0,f=1;re char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
    return x*f;
}
#define maxn 5000000
ll pai[maxn+5];
int prim[maxn+5],cnt,mu[maxn+5];
bool vis[maxn+5];
unordered_map<int,int> ans_mu;
unordered_map<int,ll> ans_pai;
il void init()
{
    mu[1]=pai[1]=1;
    for(re int i=2;i<=maxn;++i)
    {
        if(!vis[i]) prim[++cnt]=i,mu[i]=-1,pai[i]=i-1;
        for(re int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=maxn;++j)
        {
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0)
            {
                pai[i*prim[j]]=pai[i]*prim[j];
                break;
            }
            pai[i*prim[j]]=pai[prim[j]]*pai[i];
            mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(re int i=1;i<=maxn;++i) mu[i]+=mu[i-1],pai[i]+=pai[i-1];
}
il ll get_pai(ll x)
{
    if(x<=maxn) return pai[x];
    if(ans_pai[x]) return ans_pai[x];
    ll ans=((1ll+x)*x)/2ll;
    for(re int l=2,r;l<=x;l=r+1)//其实这里可能会爆int，可以改用用unsigned int
    {
        r=x/(x/l);
        ans-=1ll*(r-l+1)*get_pai(x/l);
    }
    return ans_pai[x]=ans;
}
il int get_mu(int x)
{
    if(x<=maxn) return mu[x];
    if(ans_mu[x]) return ans_mu[x];
    int ans=1;
    for(re int l=2,r;l<=x;l=r+1)
    {
        r=x/(x/l);
        ans-=(r-l+1)*get_mu(x/l);
    }
    return ans_mu[x]=ans;
}
il void doit()
{
    int T=read();
    while(T--)
    {
        int x=read();
        printf("%lld %d
",get_pai(x),get_mu(x));
    }
}
signed main()
{
    init(),doit();
    return 0;
}