线性变换旋转矩阵的推导过程

设向量v和向量n，并且 ||n|| = 1,计算向量v绕向量n顺时针旋转Θ的旋转矩阵R。

 

如上图所示，把向量v分成两部分：平行于n的部分proj_n(v)和垂直于n的部分v_⊥，其中v_⊥ = v - proj_n(v) .  proj_n(v)为v在n方向上的投影， proj_n(v) = (n.v)n. 

平行于n的部分在旋转时不会发生变化，所以只需考虑垂直于n的部分的旋转即可。V⊥的旋转结果记为R_n (V_⊥). R_n (V_⊥) = cosΘ*V_⊥ +sinΘ*(nxv).

最后 R_n(V) = proj_n(v) + R_n (V_⊥) 

　　　　　　= (n.v)n + cosΘ*V_⊥ +sinΘ*(nxv)

　　　　　　= (n.v)n + cosΘ* (v - proj_n(v)) +sinΘ*(nxv)

　　　　　　= cosΘ*v + (1-cosΘ)(n.v)n+sinΘ*(nxv)

 

设向量v为[x_v,y_v,z_v],向量n为[x_n,y_n,z_n]. 展开上式右边 = 

= cosΘ*[x_v,y_v,z_v] + (1-cosΘ)*(x_n*x_v,y_n*y_v,z_n*z_v)[x_n,y_n,z_n]^T + sinΘ[(y_n * z_v - z_n* y_v),(z_n * x_v - x_n* z_v),(x_n * y_v - y_n* x_v)]^T 

= [

[(cosΘ *x_v + (1-cosΘ)*x²_n * x_v) + ((1-cosΘ)*x_n *y_n *y_v +sinΘ*z_n*y_v)+ ((1-cosΘ)*x_n *z_n *z_v - sinΘ*y_n*z_v)] ,

[ ((1-cosΘ)*x_n *y_n *x_v - sinΘ*z_n*x_v) +(cosΘ*y_v +(1-cosΘ)*y²_n*y_v) +((1-cosΘ)*y_n*z_n*z_v + sinΘ*x_n*z_v)],

[((1-cosΘ)*x_n *z_n *x_v + sinΘ*y_n*x_v) +((1-cosΘ)*y_n*z_n*y_v - sinΘ*x_n*y_v) +((1-cosΘ)*z²_n*z_v + cosΘ*z_v)]

]

 

设R 为[ [R11,R12,R13] ,[R21,R22,R23],[R31,R32,R33]]

左边 =  [x_v,y_v,z_v]* R

　　= [

　　　　[x_v* R11 + y_v* R21 + z_v* R31] ,

　　　　[x_v* R12 + y_v* R22 + z_v* R32],

　　　　[x_v* R13 + y_v* R23 + z_v* R33]

　　　]

 

由于左边 = 右边 ，对应相等，并记 cosΘ 为 c ， sinΘ 为 s，则R = 

 

[

 

[(c+ (1-c)*x²_n) + ((1-c)*x_n *y_n+s*z_n)+ ((1-c)*x_n *z_n- s*y_n)] ,

[ ((1-c)*x_n *y_n - s*z_n) +(c +(1-c)*y2_n) +((1-c)*y_n*z_n + s*x_n)],

[((1-c)*x_n *z_n + s*y_n) +((1-c)*y_n*z_n - s*x_n) +((1-c)*z²_n + c)]

 

]

特别的，当n为[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]时，R分别为

[

[1,0,0,0],

[ 0,c,s,0],

[0,-s,c,0],

[0,0,0,1]

]

、

[

[c,0,-s,0],

[ 0,1,0,0],

[s,0,c,0],

[0,0,0,1]

]

、

[

[c,s,0,0],

[-s,c,0,0],

[0,0,1,0],

[0,0,0,1]

]