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  • 二叉树中的那些常见的面试题

    关于二叉树

    二叉树作为树的一种，是一种重要的数据结构，也是面试官经常考的东西。昨天看了一下关于树中的面试题，发现二叉树中的面试题比较常见的题型大概有下面几个：创建一颗二叉树（先序，中序，后序）、遍历一颗二叉树（先序，中序，后序和层次遍历）、求二叉树中叶子节点的个数、求二叉树的高度、求二叉树中两个节点的最近公共祖先、打印和为某一值的全部路径、求某一节点是否在一个树中等等。

    再详细的说这些面试题之前，不妨先看一下几种常见的二叉树：

    完全二叉树：若二叉树的高度是h，除第h层之外，其他（1~h-1）层的节点数都达到了最大个数，并且第h层的节点都连续的集中在最左边。想到点什么没？实际上，完全二叉树和堆联系比较紧密哈~~~

    满二叉树：除最后一层外，每一层上的所有节点都有两个子节点，最后一层都是叶子节点。

    哈夫曼树：又称为最有数，这是一种带权路径长度最短的树。哈夫曼编码就是哈夫曼树的应用。

    平衡二叉树：所谓平衡二叉树指的是，左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。

    红黑树：红黑树是每个节点都带颜色的树，节点颜色或是红色或是黑色，红黑树是一种查找树。红黑树有一个重要的性质，从根节点到叶子节点的最长的路径不多于最短的路径的长度的两倍。对于红黑树，插入，删除，查找的复杂度都是O（log N）。

     

    二叉树中的那些面试题

    再具体说二叉树中的那些面试题之前，我们先看一下二叉树中的每个节点是什么样的，以及为了完成这些面试题，二叉树中声明的函数原型是什么样的：

    二叉树的节点：BinTreeNode

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     1 //二叉树的节点类
 2 class BinTreeNode
 3 {
 4 private:
 5     int data;
 6     BinTreeNode *left,*right;
 7 public:
 8     //利用初始化列表完成data，left，rightn的初始化
 9     BinTreeNode(const int &item,BinTreeNode *lPtr = NULL,BinTreeNode *rPtr = NULL):data(item) ,left(lPtr),right(rPtr){};
10     void set_data(int item)
11     {
12         data = item;
13     }
14     int get_data()const
15     {
16         return data;
17     }
18     void set_left(BinTreeNode *l)
19     {
20         left = l;
21     }
22     BinTreeNode* get_left()const
23     {
24         return left;
25     }
26     void set_right(BinTreeNode *r)
27     {
28         right = r;
29     }
30     BinTreeNode* get_right()const
31     {
32         return right;
33     }
34 };
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    二叉树原型：BinTree，其中包含了这篇文章中要完成的函数原型的完整声明。 

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     1 //二叉树
 2 class BinTree
 3 {
 4 private:
 5     BinTreeNode *root;
 6 public:
 7     BinTree(BinTreeNode *t = NULL):root(t){};
 8     ~BinTree(){delete root;};
 9     void set_root(BinTreeNode *t)
10     {
11         root = t;
12     }
13     BinTreeNode* get_root()const
14     {
15         return root;
16     }
17     //1.创建二叉树
18     BinTreeNode* create_tree();
19     //2.前序遍历
20     void pre_order(BinTreeNode *r)const;
21     //3.中序遍历
22     void in_order(BinTreeNode *r)const;
23     //4.后序遍历
24     void post_order(BinTreeNode *r)const;
25     //5.层次遍历
26     void level_order(BinTreeNode *r)const;
27     //6.获得叶子节点的个数
28     int get_leaf_num(BinTreeNode *r)const;
29     //7.获得二叉树的高度
30     int get_tree_height(BinTreeNode *r)const;
31     //8.交换二叉树的左右儿子
32     void swap_left_right(BinTreeNode *r);
33     //9.求两个节点pNode1和pNode2在以r为树根的树中的最近公共祖先
34     BinTreeNode* get_nearest_common_father(BinTreeNode *r,BinTreeNode *pNode1,BinTreeNode *pNode2)const;
35     //10.打印和为某一值的所有路径
36     void print_rout(BinTreeNode *r,int sum)const;
37     //11.判断一个节点t是否在以r为根的子树中
38     bool is_in_tree(BinTreeNode *r,BinTreeNode *t)const;
39 };
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    2.1 创建一颗二叉树

    创建一颗二叉树，可以创建先序二叉树，中序二叉树，后序二叉树。我们在创建的时候为了方便，不妨用‘#’表示空节点，这时如果先序序列是：6 4 2 3 # # # # 5 1 # # 7 # #，那么创建的二叉树如下：

    下面是创建二叉树的完整代码：穿件一颗二叉树，返回二叉树的根。

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     1 //创建二叉树，这里不妨使用前序创建二叉树，遇到‘#’表示节点为空
 2 BinTreeNode* BinTree::create_tree()
 3 {
 4     char item;
 5     BinTreeNode *t,*t_l,*t_r;
 6     cin>>item;
 7     if(item != '#')
 8     {
 9         BinTreeNode *pTmpNode = new BinTreeNode(item-48);
10         t = pTmpNode;
11         t_l = create_tree();
12         t->set_left(t_l);
13         t_r = create_tree();
14         t->set_right(t_r);
15         return t;
16     }
17     else
18     {
19         t = NULL;
20         return t;
21     }
22 }
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    2.2 二叉树的遍历

    二叉树的遍历分为：先序遍历，中序遍历和后序遍历，这三种遍历的写法是很相似的，利用递归程序完成也是灰常简单的：

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     1 //前序遍历
 2 void BinTree::pre_order(BinTreeNode *r)const
 3 {
 4     BinTreeNode *pTmpNode = r;
 5     if(pTmpNode != NULL)
 6     {
 7         cout<<pTmpNode->get_data()<<" ";
 8         pre_order(pTmpNode->get_left());
 9         pre_order(pTmpNode->get_right());
10     }
11 }
12 //中序遍历
13 void BinTree::in_order(BinTreeNode *r)const
14 {
15     BinTreeNode *pTmpNode = r;
16     if(pTmpNode != NULL)
17     {
18         in_order(pTmpNode->get_left());
19         cout<<pTmpNode->get_data()<<" ";
20         in_order(pTmpNode->get_right());
21     }
22 }
23 //后序遍历
24 void BinTree::post_order(BinTreeNode *r)const
25 {
26     BinTreeNode *pTmpNode = r;
27     if(pTmpNode != NULL)
28     {
29         post_order(pTmpNode->get_left());
30         post_order(pTmpNode->get_right());
31         cout<<pTmpNode->get_data()<<" ";
32     }
33 }
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    2.3 层次遍历

    层次遍历也是二叉树遍历的一种方式，二叉树的层次遍历更像是一种广度优先搜索（BFS）。因此二叉树的层次遍历利用队列来完成是最好不过啦，当然不是说利用别的数据结构不能完成。

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     1 //层次遍历
 2 void BinTree::level_order(BinTreeNode *r)const
 3 {
 4     if(r == NULL)
 5         return;
 6     deque<BinTreeNode*> q;
 7     q.push_back(r);
 8     while(!q.empty())
 9     {
10         BinTreeNode *pTmpNode = q.front();
11         cout<<pTmpNode->get_data()<<" ";
12         q.pop_front();
13         if(pTmpNode->get_left() != NULL)
14         {
15             q.push_back(pTmpNode->get_left());
16         }
17         if(pTmpNode->get_right() != NULL)
18         {
19             q.push_back(pTmpNode->get_right());
20         }
21     }
22 }
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    2.4 求二叉树中叶子节点的个数

    树中的叶子节点的个数 = 左子树中叶子节点的个数 + 右子树中叶子节点的个数。利用递归代码也是相当的简单，易懂。 

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     1 //获取叶子节点的个数
 2 int BinTree::get_leaf_num(BinTreeNode *r)const
 3 {
 4     if(r == NULL)//该节点是空节点，比如建树时候用'#'表示
 5     {
 6         return 0;
 7     }
 8     if(r->get_left()==NULL && r->get_right()==NULL)//该节点并不是空的，但是没有孩子节点
 9     {
10         return 1;
11     }
12     //递归整个树的叶子节点个数 = 左子树叶子节点的个数 + 右子树叶子节点的个数
13     return get_leaf_num(r->get_left()) + get_leaf_num(r->get_right());
14 }
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    2.5 求二叉树的高度

    求二叉树的高度也是非常简单，不用多说：树的高度 = max(左子树的高度，右子树的高度) + 1 。

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     1 //获得二叉树的高度
 2 int BinTree::get_tree_height(BinTreeNode *r)const
 3 {
 4     if(r == NULL)//节点本身为空
 5     {
 6         return 0;
 7     }
 8     if(r->get_left()==NULL && r->get_right()==NULL)//叶子节点
 9     {
10         return 1;
11     }
12     int l_height = get_tree_height(r->get_left());
13     int r_height = get_tree_height(r->get_right());
14     return l_height >= r_height ? l_height + 1 : r_height + 1; 
15 }
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    2.6 交换二叉树的左右儿子

    交换二叉树的左右儿子，可以先交换根节点的左右儿子节点，然后递归以左右儿子节点为根节点继续进行交换。树中的操作有先天的递归性。。

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     1 //交换二叉树的左右儿子
 2 void BinTree::swap_left_right(BinTreeNode *r)
 3 {
 4     if(r == NULL)
 5     {
 6         return;
 7     }
 8     BinTreeNode *pTmpNode = r->get_left();
 9     r->set_left(r->get_right());
10     r->set_right(pTmpNode);
11     swap_left_right(r->get_left());
12     swap_left_right(r->get_right());
13 }
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    2.7 判断一个节点是否在一颗子树中

    可以和当前根节点相等，也可以在左子树或者右子树中。 

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     1 //判断一个节点t是否在以r为根的子树中
 2 bool BinTree::is_in_tree(BinTreeNode *r,BinTreeNode *t)const
 3 {
 4     if(r == NULL)
 5     {
 6         return false;
 7     }
 8     else if(r == t)
 9     {
10         return true;
11     }
12     else
13     {
14         bool has = false;
15         if(r->get_left() != NULL)
16         {
17             has = is_in_tree(r->get_left(),t);
18         }
19         if(!has && r->get_right()!= NULL)
20         {
21             has = is_in_tree(r->get_right(),t);
22         }
23         return has;
24     }
25 }
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    2.8 求两个节点的最近公共祖先

    求两个节点的公共祖先可以用到上面的：判断一个节点是否在一颗子树中。（1）如果两个节点同时在根节点的右子树中，则最近公共祖先一定在根节点的右子树中。（2）如果两个节点同时在根节点的左子树中，则最近公共祖先一定在根节点的左子树中。（3）如果两个节点一个在根节点的右子树中，一个在根节点的左子树中，则最近公共祖先一定是根节点。当然，要注意的是：可能一个节点pNode1在以另一个节点pNode2为根的子树中，这时pNode2就是这两个节点的最近公共祖先了。显然这也是一个递归的过程啦：

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     1 //求两个节点的最近公共祖先
 2 BinTreeNode* BinTree::get_nearest_common_father(BinTreeNode *r,BinTreeNode *pNode1,BinTreeNode *pNode2)const
 3 {
 4     //pNode2在以pNode1为根的子树中（每次递归都要判断，放在这里不是很好。）
 5     if(is_in_tree(pNode1,pNode2))
 6     {
 7         return pNode1;
 8     }
 9     //pNode1在以pNode2为根的子树中
10     if(is_in_tree(pNode2,pNode1))
11     {
12         return pNode2;
13     }
14     bool one_in_left,one_in_right,another_in_left,another_in_right;
15     one_in_left = is_in_tree(r->get_left(),pNode1);
16     another_in_right = is_in_tree(r->get_right(),pNode2);
17     another_in_left = is_in_tree(r->get_left(),pNode2);
18     one_in_right = is_in_tree(r->get_right(),pNode1);
19     if((one_in_left && another_in_right) || (one_in_right && another_in_left))
20     {
21         return r;
22     }
23     else if(one_in_left && another_in_left)
24     {
25         return get_nearest_common_father(r->get_left(),pNode1,pNode2);
26     }
27     else if(one_in_right && another_in_right)
28     {
29         return get_nearest_common_father(r->get_right(),pNode1,pNode2);
30     }
31     else
32     {
33         return NULL;
34     }
35 }
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    可以看到这种做法，进行了大量的重复搜素，其实有另外一种做法，那就是存储找到这两个节点的过程中经过的所有节点到两个容器中，然后遍历这两个容器，第一个不同的节点的父节点就是我们要找的节点啦。 实际上这还是采用了空间换时间的方法。

    2.9 从根节点开始找到所有路径，使得路径上的节点值和为某一数值（路径不一定以叶子节点结束）

    这道题要找到所有的路径，显然是用深度优先搜索（DFS）啦。但是我们发现DFS所用的栈和输出路径所用的栈应该不是一个栈，栈中的数据是相反的。看看代码：注意使用的两个栈。

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     1 //注意这两个栈的使用
 2 stack<BinTreeNode *>dfs_s;
 3 stack<BinTreeNode *>print_s;
 4 //打印出从r开始的和为sum的所有路径
 5 void BinTree::print_rout(BinTreeNode *r,int sum)const
 6 {
 7     if(r == NULL)
 8     {
 9         return;
10     }
11     //入栈
12     sum -= r->get_data();
13     dfs_s.push(r);
14     if(sum <= 0)
15     {
16         if(sum == 0)
17         {
18             while(!dfs_s.empty())
19             {
20                 print_s.push(dfs_s.top());
21                 dfs_s.pop();
22             }
23             while(!print_s.empty())
24             {
25                 cout<<print_s.top()->get_data()<<" ";
26                 dfs_s.push(print_s.top());
27                 print_s.pop();
28             }
29             cout<<endl;
30         }
31         sum += r->get_data();
32         dfs_s.pop();
33         return;
34     }
35     //递归进入左子树
36     print_rout(r->get_left(),sum);
37     //递归进入右子树
38     print_rout(r->get_right(),sum);
39     //出栈
40     sum += r->get_data();
41     dfs_s.pop();
42 }
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    最后，给出一点测试代码：

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     1 int main()
 2 {
 3     BinTree tree;
 4     /*--------------------------------------------------------------------------*/
 5     cout<<"请输入二叉树前序序列进行建树，'#'代表空节点："<<endl;
 6     tree.set_root(tree.create_tree());
 7     cout<<endl;
 8     /*--------------------------------------------------------------------------*/
 9     cout<<"前序遍历的结果：";
10     tree.pre_order(tree.get_root());
11     cout<<endl<<endl;
12     /*--------------------------------------------------------------------------*/
13     cout<<"中序遍历的结果：";
14     tree.in_order(tree.get_root());
15     cout<<endl<<endl;
16     /*--------------------------------------------------------------------------*/
17     cout<<"后序遍历的结果：";
18     tree.post_order(tree.get_root());
19     cout<<endl<<endl;
20     /*--------------------------------------------------------------------------*/
21     cout<<"层次遍历的结果：";
22     tree.level_order(tree.get_root());
23     cout<<endl<<endl;
24     /*--------------------------------------------------------------------------*/
25     cout<<"该二叉树叶子节点的个数：";
26     cout<<tree.get_leaf_num(tree.get_root())<<endl<<endl;
27     /*--------------------------------------------------------------------------*/
28     cout<<"该二叉树的高度是：";
29     cout<<tree.get_tree_height(tree.get_root())<<endl<<endl;
30     /*--------------------------------------------------------------------------*/
31     tree.swap_left_right(tree.get_root());
32     cout<<"交换左右子树之后的先序遍历结果为：";
33     tree.pre_order(tree.get_root());
34     cout<<endl<<endl;
35     /*--------------------------------------------------------------------------*/
36     BinTreeNode *p1 = tree.get_root()->get_left()->get_right();
37     BinTreeNode *p2 = tree.get_root()->get_left()->get_left();
38     BinTreeNode *p3 = tree.get_root()->get_right()->get_right()->get_right();
39     cout<<p1->get_data()<<" 和 "<<p2->get_data()<<"的最近公共祖先是：";
40     BinTreeNode *p = tree.get_nearest_common_father(tree.get_root(),p1,p2);
41     cout<<p->get_data()<<endl;
42     cout<<p1->get_data()<<" 和 "<<p3->get_data()<<"的最近公共祖先是：";
43     p = tree.get_nearest_common_father(tree.get_root(),p1,p3);
44     cout<<p->get_data()<<endl<<endl;
45     /*--------------------------------------------------------------------------*/
46     cout<<"路径如下："<<endl;
47     tree.print_rout(tree.get_root(),12);
48     return 0;
49 }
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    运行结果：
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