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  • Codeforces 710 D. Two Arithmetic Progressions

    Description

    (x=a_1k+b_1=a_2l+b_2,Lleqslant x leqslant R) 求满足这样条件的 (x) 的个数.

    Sol

    扩展欧几里得+中国剩余定理.

    发现这个相当于一个线性方程组.

    (x equiv b_1(mod a_1))

    (x equiv b_2(mod a_2))

    将原来两式相减得到 (a_1k-a_2l=b_2-b_1)

    这个用扩展欧几里得求一下,如果 ((a_1,a_2) mid  (b_2-b_1)) 显然无解.

    用扩展欧几里得求的方程是 (a_1k-a_2l=(a_1,a_2)) ,将这个等式再乘上 (frac{b_2-b_1}{(a_1,a_2)})

    现在我们得到了一组合法解,通解就是 (k=k_0+frac {a_2}{(a_1,a_2)},l=l_0-frac {a_1}{(a_1,a_2)})

    求得最小正数解可以对 (frac {a_2}{(a_1,a_2)}) 取模.

    然后原方程的解个数就是 (k+n[a_1,a_2]) ,不要忘记计算端点的这个值.

    Code

    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    using namespace std;
    
    typedef long long LL;
    #define debug(a) cout<<#a<<"="<<a<<" "
    
    LL a1,b1,a2,b2,k,l,x,lcm,gcd,L,R,ans;
    
    void Exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    	if(!b){ x=1,y=0;return; }
    	Exgcd(b,a%b,x,y);
    	LL t=x;x=y,y=t-(a/b)*y;
    }
    int main(){
    	ios::sync_with_stdio(false);
    	cin>>a1>>b1>>a2>>b2>>L>>R;
    	Exgcd(a1,a2,k,l);
    	gcd=__gcd(a1,a2),lcm=a1/gcd*a2;
    	L=max(L,max(b1,b2));
    	if((b2-b1)%gcd || L>R) return puts("0"),0;
    	k*=(b2-b1)/gcd,k=(k%(a2/gcd)+a2/gcd)%(a2/gcd);
    	x=a1*k+b1;
    //	debug(x),debug(lcm),debug(L),debug(R);
    	if(R>=x) ans+=(R-x)/lcm+1;
    	if(L-1>=x) ans-=(L-1-x)/lcm+1;
    	cout<<ans<<endl;
    	return 0;
    }
    

      

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/beiyuoi/p/6056141.html
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