LCIS最长公共上升子序列

定义状态

F[i][j]表示以a串的前i个整数与b串的前j个整数且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度。

状态转移方程：

①F[i][j] = F[i-1][j] (a[i] != b[j])

②F[i][j] = max(F[i-1][k]+1) (1 <= k <= j-1 && b[j] > b[k])

对于①，因为F[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS，如果F[i][j]>0那么就说明a[1]..a[i]中必然有一个整数a[k]等于b[j],因为a[k]!=a[i]，那么a[i]对F[i][j]没有贡献,所以在a[i]!=b[j]的情况下必然有F[i][j]=F[i-1][j]。

对于②，前提是a[i] == b[j],我们需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。首先我们要去找的F数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。第二维呢？那就需要枚举b[1]...b[j-1]了。

以上的代码的时间复杂度是O(n^3)，那我们怎么去优化呢？通过思考发现，第三层循环找最大值是否可以优化呢？我们能否直接把枚举最大的f[i-1][k]值直接算出来呢？假设存在这么一个序列a[i] == b[j],我们继续看状态转移方程②，会发现b[j] > b[k]，即当a[i] == b[j]时，可以推出a[i] > b[k]，那么有了这个表达式我们可以做什么呢？可以发现，我们可以维护一个MAX值来储存最大的f[i-1][k]值。即只要有a[i] > b[j]的地方，那么我们就可以更新最大值，所以，当a[i] == b[j]的时候，f[i][j] = MAX+1，即可。

可以发现，其实上面的代码有些地方与0/1背包很相似，即每次用到的只是上一层循环用到的值，即f[i-1][j]，那么我们可以像优化0/1背包问题利用滚动数组来优化空间。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[1050],b[1050];
int dp[1050][1050];
int main(){
    freopen("lcis.in","r",stdin);
    freopen("lcis.out","w",stdout);
    int n,m,i,j;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
    scanf("%d",&m);
    for(i=1;i<=m;i++)scanf("%d",b+i);
     for(int i = 1; i <= n; i++)  
    {  
        int MAX = 0; 
        for(int j = 1; j <= m; j++)  
        {  
            dp[i][j] = dp[i-1][j]; 
            if(a[i] > b[j]) MAX = max(MAX, dp[i-1][j]);  
            if(a[i] == b[j]) dp[i][j] = MAX+1;  
        }  
    }  
    int max1=0;
    for(int j=1;j<=m;j++)max1=max(max1,dp[n-1][j]);
    printf("%d",max1);
    return 0;
}