极限

极限是解决问题的一种重要的思想

定义：

　　设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都 ，使不等式  在  上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。记作  或  

如果上述的定义不成立，则这个数列一定是发散的

性质

　　1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

　　2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”

　　3、保号性：若 （或<0），则对任何

  

（a<0时则是

 

），存在N>0，使n>N时有

  

（相应的xn<m）。

　　4、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ，使得当n>N时有

 

，则

  

（若条件换为xn>yn ，结论不变）。

　　5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列 也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

　　6、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列  收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

单调收敛定理

　　单调有界数列必收敛。 

柯西收敛原理

　　设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有  ，这样的数列

  

便称为柯西数列。这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即为充分必要条件。