海伦公式
一个边长为 (a,b,c) 的三角形，其面积为：
[sqrt{p (p-a) (p-b) (p-c)}
]
其中 (p=frac{a+b+c}{2}).
高
求面积当然要从高入手，如图：
其中 (D) 为垂足，(h) 为高。设 (BD = x)，则 (DC = a - x).
可以得到：
[egin{cases}
c^2 = x^2 + h^2 \
b^2 = (a-x)^2 + h^2
end{cases}]
勾股定理的应用
可得
[c^2 - x^2 = b^2 - (a-x)^2
]
[c^2 - x^2 = b^2 - a^2 + 2ax - x^2
]
[2ax = c^2 - b^2 + a^2
]
[x=frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a}
]
那么：
[h^2 = c^2 - x^2
]
[= (c - frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a})(c + frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a})
]
[= frac{2ac-c^2+b^2-a^2}{2a} cdot frac{2ac+c^2-b^2+a^2}{2a}
]
[= frac{-[(a-c)^2 - b^2]}{2a} cdot frac{(a+c)^2-b^2}{2a}
]
[= -frac{(a-b-c)(a+b-c)(a+c-b)(a+b+c)}{4a^2}
]
[= frac{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}{4a^2}
]
则：
[h = sqrt{frac{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}{4a^2}}
]
[= frac{1}{2a} sqrt{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}
]
面积
( herefore)
[S= frac{ah}{2}
]
[= frac{1}{4} sqrt{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}
]
[= sqrt{frac{1}{16}(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}
]
令 (p=frac{a+b+c}{2})，则：
[egin{cases}
a+b-c = (a+b+c)-2c = 2p-2c = 2(p-c) \
a+c-b = (a+b+c)-2b = 2p-2b = 2(p-b) \
b+c-a = (a+b+c)-2a = 2p-2a = 2(p-a) \
a+b+c = 2p
end{cases}]
( herefore)
[S = sqrt{frac{1}{16}(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}
]
[= sqrt{frac{1}{16} cdot 2 (p-c) cdot 2 (p-b) cdot 2 (p-a) cdot 2p}
]
[= sqrt{p (p-a) (p-b) (p-c)}
]
得证。