简要题意:
给定一个长度为 (n) 的序列 (a),你需要将其分为若干组,使得每一组的异或之和最小。求这个最小值。
实际上这题是个结论题。
先考虑一个问题:对于一个数 (x),唯一的一组 (S),你会选择 将 (x) 单分一组还是加入 (S) 呢?
由于异或的结合律,所以我们可以抽象地假设一手,设 (S) 中所有元素的异或值为 (m).
这个问题就变成了,(x+m) 和 (x oplus m),哪个小?
再抽象一手,(a+b) 和 (a oplus b),哪个小?
你的直觉可能是 (a oplus b) 小。最好我们还是证明一下。
假设 (a>b) 且 (a) 化为二进制后共 (k) 位。
对于任意的第 (i (1 leq i leq k)) 位,存在:
(0 oplus 0 = 0 , 0 + 0 = 0).
(0 oplus 1 = 1 , 0 + 1 = 1).
(1 oplus 1 = 0 , 1 + 1 = 10).(进位)
这样你就会发现 (a oplus b leq a + b).
当然如果理论上的证明不够愉快,可以来一手感性证明。
异或本质是 不进位的加法,加法是 进位的加法。
这样只要存在进位,异或就会比加法的结果小。否则相等。
回归刚才的那个问题:
对于一个数 (x),唯一的一组 (S),你会选择 将 (x) 单分一组还是加入 (S) 呢?
显然答案水落石出,就是加入 (S).
这样整个问题的答案就出来了,( ext{xor}_{i=1}^n a_i) 即为答案。
时间复杂度:(mathcal{O}(n)).
实际得分:(100pts).
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}
inline void write(int x) {
if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}
int main() {
int n=read(),s=0;
while(n--) s^=read();
write(s);
return 0;
}