剖析递归行为实质和递归行为时间复杂度的估算

1.递归算法的时间复杂度：

　　master公式的使用：T(N)=a*T(N/b)+O(N^d)　　master公式的适用范围：划分的子过程规模是一样的情况下，只是发生了a次，这种情况下才能运用master来求解。

　　(1)log(b,a)>d  --->复杂度为O(N^log(b,a))

　　(2)log(b,a)=d  --->复杂度为 O(N^d*logN)

　　(3)log(b,a)<d  --->复杂度为O(N^d)

2.接下来通过递归的方法求出一个数组中的最大值

public class Test2 {
    //在整个数组找到最大值，通过递归的方式在数组中找到最大值
    //递归思路，先在数组的左半部分找出最大值，然后在数组的右半部分找出最大值，然后比较两个最大值的大小，找出全局的最大值
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {4,3,2,1};
        System.out.println(getMax(arr,0,arr.length-1));

    }
    public static int getMax(int[] arr,int L,int R){
        //在L到R的范围上找到最大值，先找左边部分的最大值，然后找到右边部分的最大值
        //边界条件，什么时候这个问题不需要再进行划分？当只有一个元素的时候，不用再进行划分了，直接返回当前
        if(L==R){
            return arr[L];
        }
        int mid = (L+R)/2;
        int maxLeft = getMax(arr,L,mid);
        int maxRight= getMax(arr,mid+1,R);
        return Math.max(maxLeft,maxRight);
    }
}

3.算法分析：

　　(1)主函数：getMax(arr,0,3)。递归函数就是系统在帮你压栈的操作。所谓的递归函数就是系统栈。任何递归行为都可以改成非递归。

　　(2)T(N)=aT(n/b)+O(n^d)　　T(N)表示样本量为N的情况下的时间复杂度。该式是估计递归行为时间复杂度的通式。n/b代表的是子过程的样本量，子问题的样本量要比原始问题的样本量要小，对于本问题，所有子过程的样本量都是N/2，发生了2次，出去递归过程之外，剩下的就是进行比对了，所以时间复杂度就是O(1)。于是在b=2，a=2，d=0的时候的式子就是：T(N)=2T(N/2)+O(1)。只要满足上面式子的，可以通过上述规律求出时间复杂度。这里的d是0，a是2，b是2，所以时间复杂度是：O(N^log(b,a))=O(N)，即时间复杂度是O(N)。

　　(3)log(b,a)=d  --->复杂度为 O(N^d*logN)

　　(4)T(n)=2T(n/2)+O(n^2)   即d=2的时候，时间复杂度是：O(N^2)