单变量微积分笔记18——定积分的应用3（均值、权重、概率）

均值

均值与定积分的关系

　　在数学笔记14——微积分第一基本定理中曾介绍过定积分与均值关系，如果y = f(x)，则当n→∞时：

　　用定积分的几何意义解释这个等式，如下图所示：

　　如果a = x₀ < x₁ < x₂ < x₃ < ……< x_n = b，我们得到 y₁ = f(x₁), y₂ = f(x₂) …… y_n = f(x_n). Δx = (b – a)/n，那么当Δx→0时，面积就是：

　　进一步，两边同时除以b – a，相当于得到每个小矩形的面积：

 

　　结合本节最开始的公式：

　　所以Δx→0等同于n→∞

　　现在看来均值和积分有着密切关系，将定积分除以积分的区间长度就是均值。

常数的均值

　　我们知道常数的均值就是常数本身，现在用积分去解释，得到：

　　所以Avg(C) = C，积分更好地解释了均值这个概念。

示例

　　计算点在单位半圆上的点平均高度

　　用定积分去解释，小矩形的宽度是dx，高度就是y，如下图所示：

　　单位圆的曲线是x² + y² = 1，由此便可计算均值：

　　我们可以直接求得半圆的面积而不必费力计算定积分。所以点的平均高度是π/4，附带的结论是，π/2的几何意义是单位半圆的面积，用积分解释就是

均值的不同答案

　　均值的一个重要特征：对谁计算均值？对于不同的变量，将会得到不同的答案。

　　还是计算点在单位半圆上的点平均高度，这次我们使用弧长来计算，如下图所示：

　　设弧长为θ，dθ是半圆的1/n，dθ在x轴的投影是dx，然而dx并不是直径的1/n——在(0,1)点，dx和dθ接近；越靠近(1,0)点，dθ对应的dx越短。

　　在单位圆中，弧长等于半径夹角，半径上点的高度就是y = sinθ，如下图所示：

　　已知上图θ的取值范围是[0, π]，则对于弧长，半径上点的均值是：

 

　　看来今后在说均值时还需要加上前提条件，说明就什么而言计算的均值。

权重

权重与加权平均

　　在实际应用中，数值往往带有权重，这就要求计算均值时将权重也考虑进去。

　　对于f(x)，如果每个x对应的权重是w(x)，均值公式就变成了：

 

　　根据该公式，常数的均值依然是常数：

 

　　从一个实际例子中能更好地解释公式：如果我分别以10元，20元，30元的价格买过同一支股票，平均购买的价格是多少？

　　直接用(10 + 20 + 30)/3计算是不对的，想要求得平均价格，还必须知道每次购入了多少股。现在设每次购入w₁, w₂, w₃股，那么均值就是：(10 w₁ + 20w₂ + 30w₃)/( w₁ + w₂ + w₃)，这是对离散值的处理，对于连续值就可以使用定积分的加权平均值公式。

示例

　　如下图所示，有一个由y = x²旋转而成的坩埚，高度是1m，口宽2m。锅中盛满水后热一段时间后，锅底温度是100℃，水面温度是70℃，现假设温度的函数是T = 100 – 30y，那么此时整锅水的能量是多少？能量 = 体积×温度

 　　

　　由于锅是圆弧形，越往上装的水越多，对整体结果的影响就越大，这实际上是将容积看成对于温度的权重。可以使用圆盘法求解该问题，这样每个圆盘切片对应的温度就是一个定值，如下图所示：

　　圆盘的体积是πx²dy，能量是Tπx²dy，这样整体的能量就是：

 

　　还可以根据总能量除以容积求出平均温度：

概率

用定积分解释概率

　　如下图所示，曲线与x轴所围图形中的一个随机点，落在 x > 1/2处的概率？

　　概率问题就是面积问题，因此：

 

　　用微积分解释概率的一般公式：

 

　　其中w(x)是事件x的权重，在上例中，w(x) = 1 – x²

示例

　　我最近在练习投掷飞镖，并且技术不错。现在我用一个带立柱的靶练习，每次都站在固定的位置联系。假设我的命中次数与靶心距离呈正态分布，靶子的半径是r米，立柱的高度是h米，宽度是w米，那么我命中立柱的概率是多少？命中次数与半径的关系：

　　这是典型的加权概率问题，权重就是正态分布函数：

 

　　现在将立柱绕靶子外檐环绕一周，形成一个圆环，我们需要做的首先是计算出圆环的命中率，然后用立柱的面积除以圆环的面积就能得出最终结果：

 

　　现在我们知道命中上图中绿线次数（圆环宽度）是呈正态分布的，命中的次数就是曲线在r和r+h点与x轴围成的面积：

　　现在需要将“线”扩展为”面”，实际上是等同于将“线”旋转一周，等同于将上图阴影部分绕y轴旋转一周，于是根据壳层法，圆环的命中次数：

综合示例

示例1

　　假设一个人的速度关于时间的函数是，单位是m/s。这个人从t = 0时刻开始跑步，加速5s，减速5s，他在这10s内的平均速度？

　　10秒内前进的距离：

 

　　根据积分表：

　　平均速度：

 

示例2

　　曲线f(x) = x和g(x) = x³在第一象限相交的区域为R。

　　a)  在R区域，x的均值是多少？

　　b)  如果在R上随机取一点，该点上x > 1/2的几率是多少？

　　问题a可转换为加权问题，如下图所示：

　　在虚线上，x值的总量是sum(x) = x_b (f(x_b) – g(x_b))，均值是x_b，x的权重就是w(x) = f(x) – g(x)。根据加权平均公式：

　　问题b较为简单，就是计算x > 1/2时R的面积与总面积的比值：

 

总结

　　1.现在看来均值和积分有着密切关系，将定积分除以积分的区间长度就是均值。

　　2.对于不同的变量计算均值，将会得到不同的答案。

　　3.对于加权平均值：

　　4.概率的一般公式：

 

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