概率笔记2——古典概型

　　上一章中通过几个示例对概率进行了初步介绍，从本章开始，将系统地介绍概率的相关知识。

基本概念

　　概率研究的是随机现象背后的客观规律——我们对随机没有兴趣，感兴趣的是通过大量随机试验总结出的数学模型。

随机试验

　　顾名思义，这个概念正如其名字一样。假设n个试验E= {E₁,E₂,……E_n} 是随机试验，那么对于每个实验：

1. 同条件下可重复；
2. 结果可知但并不唯一；
3. 实验前不知道那个结果会发生。

　　以掷骰子为例，每个骰子有6个面，共投掷了n次（n个试验），可以反复投掷，并不会只投掷一次骰子就坏掉（同条件下可重复性）；每次的结果都是1到6（结果可知但并不唯一）；在骰子落地前不知道结果（实验前不知道那个结果会发生）。

事件

　　试验的可能结果的集合称为事件，通常用大写字母A、B等表示。很多对人以为事件是一次试验或一次试验的结果，实际上事件是一个集合。

　　一次随机试验的结果称为一个随机事件，虽然只有一次试验只有一个结果，但它仍是集合。

　　每次投骰子有6中可能结果，它的事件 A = {1,2,3,4,5,6}。

样本空间

　　所有可能结果的全集叫做样本空间，也叫必然事件，通常有Ω表示。每次投掷骰子，它的样本空间都是Ω = {1,2,3,4,5,6}。

　　事件是样本空间的子集。

　　不可能产生的结果称为不可能事件，通常用φ表示。

事件的简单运算

　　由于事件是集合，所以事件的运算等同于集合的运算。集合的运算较多，遇到时在详细讨论，这里仅举一例：

　　其中第二个式子的读法是：A发生或B发生的对立事件 = A不发生且B不发生的事件。如果有人告诉你一定要会读，别信他的，不必深究读法，看懂意思即可。

古典概型

　　概型就是概率模型；古典是说某些概率模型在概率成为一门学科前就被总结出来了。所以古典概型从字面上理解就是古代人总结出来的概率模型，也就是最简单的概率模型，它说的是：随机事件的样本空间中包含了有限个等可能样本点，求这些样本点出现的概率P(A)。由此得到公式：

　　上面强调了“有限”和“等可能”，“有限”很容易理解，“等可能”是指客观上当你无法确定哪个事件更易发生的时候，只好认为是等可能。当投掷骰子时，并不知道那个点数更容易出现，所以认为所有点数出现的概率相等。一个乘客登上公交车，在随后10个站下车的可能性相等，正因为你不知道他想要从哪里下，所以才只好认为可能性相等。

典型问题

　　将n个球随意放入N个盒子中(n ≤ N)，每个盒子可以放任意多个球，求恰有n个盒子中各有一个球的概率。

　　概率的经典示例就是掷骰子和放球，这个示例又是典型的古典概型。

　　先看公式：

　　首先计算样本空间。把一个球放入N个盒子，共有N种放法；由于每个盒子可以放任意多个球，所以第二个球同样有N种放法，根据乘法结合律，样本空间的样本点个数：

 

　　恰有n个盒子中各有一个球。先使问题简单化，假设n个盒子正好是前n个，那么当第一个球放入盒子时共有n中放法；由于第一个球已经占据了一个盒子，所以第二个球共有n – 1种放法；第三个球有n – 2中放法……这实际上是n的全排列：

　　现在是从N个盒子中取任意n个，取法是：

 

　　将上面两个结果结合：

　　综上：

　　上面的结论可以看作是类似问题的公式。

不同的马甲

　　只是计算从盒子里面摸小球的话未免太过无趣，实际上这类问题有很多不同的马甲，下面就是一个类似的。

　　10个人去参加某公司的面试，这10个人恰好生日都不相同的概率是多少？假设10人都是非闰年出生。

　　现在来和小球问题比一下：

　　10个人去参加某公司的面试，（一年365天，生日可能相同）这10个人恰好生日都不相同的概率是多少？

　　将n个球随意放入N个盒子中(n ≤ N)，每个盒子可以放任意多个球，求恰有n个盒子中各有一个球的概率。

　　上面用不同颜色对两个问题加以对比，剥去马甲——把人看作小球，生日看成盒子——就会发现，二者完全一致：

---

 作者：我是8位的

出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

本文以学习、研究和分享为主，如需转载，请联系本人，标明作者和出处，非商业用途！ 

扫描二维码关注公众号“我是8位的”