多变量微积分笔记19——直角坐标系和柱坐标系下的三重积分

三重积分

　　三重积分由平面转到了空间，但本质上与二重积分一致。f(x,y,z)是空间函数，对应的三重积分是：

 

　　其中R区域是f在定义域范围内的图形的体积，dv是体积积元。在二重积分中，面积积元dA = dydx，三重积分的体积积元dv = dzdydx。

　　考虑计算两个曲面z = x² + y² 和z = 4 – x² – y² 围成的图形的体积。注意这里没有给出被积函数，两个曲面表示了积分域。

　　用三重积分表示所求体积，并用z作为最内层积分：

 

　　上式处理了z轴，剩下的是dydx，这就和二重积分一样了。现在需要关注的是所求曲面在xy轴上的投影，找出投影的边界值。

　　从两个曲面的方程可知，投影是圆，x和y的取值范围就是圆内的所有点，问题是如何求得圆的方程？

　　还是从所求曲面的图形入手，在这个曲面中z的范围已知，就是z轴的积分域：

　　这就是x,y的取值范围，也就是半径为sqrt(2)的圆内的所有点。用二重积分表示圆的面积：

 

　　将Area和并到三重积分中：

 

　　实际上对dz的积分是曲面的高度，dydx是面积，三重积分可以看做二者的乘法。

　　计算过程和二重积分类似，由内而外逐一计算：

 

柱坐标系

　　继续计算上一节的三重积分将得到复杂的式子，更好的方法是使用极坐标。首先保持dz不变，将dydx替换成极坐标（可参考《多变量微积分笔记9——极坐标下的二重积分》）：

　　这种更简单的方法就称为柱坐标法。柱坐标的基本思想是在空间中建立一个点，用极坐标代替它的xy坐标，(r, θ, z)代替(x, y, z)，如下图所示：

　　在柱坐标系中，积分将转换成：

综合示例

示例1

　　计算单位球和z > 1 – y所围的曲面的体积。

　　将上图转换为“简笔画”——转换为平面坐标系：

yz坐标系

　　容易得到z的积分域：

 

　　现在的问题是xy轴的投影是什么，即xy的积分域是多少？

　　由z的积分域可以得到不等式方程：

 

　　已知0 < y < 1，所以：

 

示例2

　　计算z = x² + y² 和z = 2y所围的曲面的体积。

　　Z的积分域：

 

　　可见xy轴的投影是圆。由此可以使用柱坐标系：

　　xy转换为极坐标后，0 ≤ θ ≤ π，r_min = 0，r_max是r关于θ的函数。

　　关于三角函数的积分计算可参考《数学笔记20——三角替换1（sin和cos）》

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作者：我是8位的

出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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