问题描述：
一个具有n个浮点数字的数组x，目标是要找到之中连在一起的数组元素中找到最大和。例如如果输入的数组是以下这十个元素：
31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84
那么程序应该返回从59到97的综合，也就是187。第一个算法迭代了所有满足 0 ≤ i ≤ j ＜ n 的 i 和 j 整数对，分别计算总和，最终找到综合最大的组合。
问题定义： 具有n个浮点数的向量x，求出输入向量的任何连续子向量的最大和。
最初的算法（算法1）：遍历长度为n向量的所有的非空子向量，总共有n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 1 = (n^2 + n)/2。所以算法复杂度为O(n^3)。 算法复杂度为O(n^3)。
算法1 伪代码：
maxsofar = 0; for i = [0,n) for j=[i,n) sum = 0; for k=[i,j]//求子向量x[i...j]之和 sum += x[k] maxsofar = max(maxsofar,sum);
算法1 c语言源程序：
1 float max_subvector1(float array[], int length) 2 { 3 assert(length > 0); 4 int i, j, k; 5 float max = 0, sum; 6 for(i = 0; i < length; i ++) 7 { 8 for ( j = i; j < length; j ++) 9 { 10 sum = 0; 11 for( k = i; k <= j; k ++) 12 sum += array[k]; 13 printf("%d - %d\tsum = %5.2f\tmax=%5.2f\n", i, j, sum, max); 14 if(max < sum) 15 max = sum; 16 } 17 18 19 } 20 return max; 21 }
算法2：算法基本思想和算法1相同，也是遍历所有的非空子向量。但是子向量x[i..j]的总和：sum(x[i..j]) = x[i] + x[i + 1] + ... + x[j] = sum(x[i...j-1]) + x[j]，即子向量x[i..j]的和是基于子向量x[i..j -1]的和。算法复杂度为O(n^2)。
算法2 伪代码：
maxsofar = 0 for i = [0, n) sum = 0 for j = [i, n) sum += x[k] maxsofar = max(maxsofar, sum)
算法2 c语言源程序：
1 float max_subvector2(float array[], int length) 2 { 3 assert(length > 0); 4 int i, j; 5 float max = 0, sum; 6 for(i = 0; i < length; i ++ ) 7 { 8 sum = 0; 9 for ( j = i; j < length; j ++) 10 { 11 sum += array[j]; 12 if(max < sum) 13 max = sum; 14 } 15 16 17 } 18 return max; 19 }
分治算法（算法3）：
分治法的思想是这样的：要解决规模为 n 的问题，可递归解决两个规模近似为 n/2 的子问题，然后将它们的答案进行合并以得到整个问题的答案。
把整个数组分为两个大约相等的部分，a 和 b。然后递归找出 a 和 b 中元素和最大的子数组，即为 ma 与 mb。最大子向量要么在在整个a中，要么在整个b中，要么跨越a和b之间的边界。跨越边界的最大子向量称为mc。mc在a中的部分是a中包含右边界的最大子向量，mc在b中的部分包含左边界的最大子向量。所以，最大子向量的和为max(ma, mb, mc)。由递归式可得，算法复杂度为O(nlogn)。
算法3 伪代码：
float maxsum3(l, u) if (l > u) return 0 if (l == u ) return max(0, x[l]) m = (l + u) / 2 lmax = sum = 0 for (i = m; i >= l; i--) sum += x[i] lmax = max (lmax, sum) rmax = sum = 0 for i = (m, u] sum += x[i] rmax = max (rmax, sum) return max(lmax+rmax, maxsum(l, m), maxsum3(m+1, u))
算法3 c语言源程序：
1 float max_subvector4(float array[], int l, int u) 2 { 3 int i; 4 float lmax, lsum, rmax, rsum, max1, max2, max = 0; 5 if( l > u) 6 return 0; 7 8 9 if( l == u) 10 return array[u] > 0 ? array[u] : 0; 11 int m; 12 13 m = (u + l) / 2; 14 printf("%d-%d ", l, u); 15 rsum = rmax = 0; 16 for(i = m + 1; i <= u; i ++) 17 { 18 rsum += array[i]; 19 rmax = rmax > rsum ? rmax : rsum; 20 } 21 22 lsum = lmax = 0; 23 for(i = m; i >= l; i --) 24 { 25 lsum += array[i]; 26 lmax = lmax > lsum ? lmax : lsum; 27 } 28 29 30 printf("lmax=%5.2f rmax=%5.2f\n", lmax, rmax); 31 max1 = max_subvector4(array, l, m); 32 max2 = max_subvector4(array, m + 1, u); 33 max = max1 > (lmax + rmax) ? max1 : (lmax + rmax); 34 max = max2 > max? max2 : max; 35 return max; 36 37 }
扫描算法（算法4）：
从最左端（元素 x[0]）开始，一直扫描到最右端（元素 x[n-1]），记下所碰到过的最大总和子数组。最大值初始为0.假设已经解决了针对 x[0..i-1] 的问题，现在需要拓展到 x[i] 中。可以使用类似分治法中的道理，前 i 个元素中，最大总和子数组要么在 i-1 个元素中（存储在 maxsofar 中），要么截止到位置 i（存储在 maxendinghere中）。算法代码更加简短，但是运行起来是最快的，运行时间是O(n)，已经是线性算法。
算法4 伪代码：
maxsofar = 0 maxendinghere = 0 for i = [0, n) maxendinghere = max(maxendinghere + x[i], 0) maxsofar = max(maxsofar, maxendinghere)
算法4 c语言源程序：
1 float max_subvector5(float array[], int length) 2 { 3 int i; 4 float maxsofar = 0, maxendinghere = 0; 5 for(i = 0; i < length; i ++) 6 { 7 maxendinghere = (maxendinghere + x[i]) > 0 ? maxendinghere : 0; 8 maxsofar = maxsofar > maxendinghere ? maxsofar : maxendinghere; 9 } 10 return maxsofar; 11 12 }
本章故事中的这些算法给出了几个重要的算法设计技术：
1.保存状态，避免重复计算。通过使用一些空间来保存中间计算结果，我们避免了花时间来对其重复计算。
2.将信息预处理到数据结构中。
3.分治算法。
4.扫描算法。与数组相关的问题经常可以通过思考“如何将x[0...i-1]的解扩展为x[0...i]地解来解决。
5.累积。
6.下界。确定相匹配的下界。
习题13. 在最大子数组问题中，给定m*n的实数数组，我们需要求出矩形子数组的最大总和。该问题的复杂度如何？
问题解析：可以在长度为m的维度上使用算法2，而在长度为n的维度上使用算法4。可以在O（m^2*n)的时间复杂度内解决m*n问题。
算法 c程序源码：
1 float max_subarr(float **array, int row, int col) 2 { 3 int i, j, k; 4 float *vector, max = 0, maxsofar, maxendinghere; 5 assert(row > 0 && col > 0); 6 vector = (float *) malloc(col * sizeof(float)); 7 assert(vector != NULL); 8 printf("the array :\n"); 9 for( i = 0; i < row; i ++) 10 { 11 memset(vector, 0, col * sizeof(float));//初始化为0 12 for( j = i; j < row; j ++) 13 {
//vector[k]的值为行i至行j的第k列元素之和，把二维问题转化为一维问题。 14 for(k = 0; k < col; k ++) 15 vector[k] += array[j][k];//vector[k] = array[i][k] + array[i + 1][k] + ... + array[j][k],
16 maxsofar = vector[0]; 17 maxendinghere = 0; 18 for(k = 0; k < col; k ++) 19 { 20 maxendinghere = (maxendinghere + vector[k]) > 0 ? (maxendinghere + vector[k]) : 0; 21 maxsofar = maxsofar > maxendinghere ? maxsofar : maxendinghere; 22 } 23 24 max = max > maxsofar ? max : maxsofar; 25 26 } 27 } 28 return max; 29 }