对于n阶矩阵(A), 如果它有n个线性无关的特征向量 (alpha_i(i=1,2...n)), 那么该矩阵一定可以对角化:
(A=PLambda P^{-1}), 其中(P=[alpha_1,alpha_2, ...,alpha_n]), (Lambda=diagonal(lambda_1,lambda_2, ...,lambda_n))
那么对于n维向量 (x) 来说, 线性变换 (Ax) 等价于 (PLambda P^{-1}x)
根据坐标变换的相关理论 https://www.cnblogs.com/bill-h/p/13648136.html 可以知道, 对于n维坐标 (x_n) 来说, (P^{-1}x_n) 表示将自然基向量下的坐标 (x_n) 变换为以({{alpha_1,alpha_2, ...,alpha_n}})为基的坐标, 而 (Px_n) 则表示相反的坐标变换, 因此线性变换 (PLambda P^{-1}x) 可以分解为如下三个步骤:
1.将自然基向量下的坐标 (x) 变换到以特征向量为基的坐标
2.以特征值为系数对坐标进行数乘
3.将特征向量下的坐标变换回自然基向量下的坐标
因此，在以特征向量为基的坐标系下，矩阵 (A) 所代表的线性变换就十分简单了。