开集与内部
集合(A)的全体内点构成(A)的"内部"，记作(A^{circ})
若集合(A)是开集，则(A)中的每个点都是内点，因此(A=A^{circ})
对于任意集合(A)，(A^{circ})是开集，且(A^{circ})是(A)当中的最大开集
接触点与聚点
设(A)为距离空间(X)的子集，(a in X)，若(a)的任意邻域都含有(A)中的点，则称(a)是(A)的接触点
设(A)为距离空间(X)的子集，(a in X)，若(a)的任意邻域都含有异于(a)的(A)中的点，则称(a)是(A)的聚点
闭集与闭包
若(A)的补集是开集，则(A)是闭集
若(A)的聚点都属于(A)，则(A)是闭集
若(A)是有限集，则(A)是闭集
注意：存在即不是开集、也不是闭集的集合，例如实数区间([0,1))
距离空间(X)的子集(A)是闭集的充要条件是(A)当中的任意收敛点列的极限都属于(A)，因此闭集就是对极限运算封闭的集合
注意：此处说的收敛点列是指在(X)中收敛的点列，而非柯西列，因此闭集不一定是完备集
集合(A)的全体接触点构成(A)的闭包，记为(overline{A})，对于任意集合(A)，(overline{A})是闭集，且(overline{A})是包含(A)的最小闭集
稠密性与可分性
所谓"稠密性"，就好比盐在水中充分溶解后，每一滴水都是咸的，此时就可以说盐在水当中"稠密"
对于距离空间(X)中的两个集合(A)和(B)，所谓(B)在(A)中稠密有如下四个等价定义
(1) 若(A)中的任意一点均可用(B)中的一个点列来逼近，则(B)在(A)中稠密
(2) 若(overline{B} supset A)，则(B)在(A)中稠密
(3) 若(A)中的任意一点的任一领域内都有(B)中的点，则(B)在(A)中稠密
(4) 若(forall epsilon > 0, igcup S(x, epsilon) supset A)，其中(x)取遍(B)中的所有点，(S)为开球，则(B)在(A)中稠密
例子：
(1) 有理数(Q)在实数(R)中稠密
(2) 在区间([a,b])上，实数多项式(P[a,b])在连续函数(C[a,b])中稠密
若集合(B)在集合(A)中稠密，且集合(B)是可数的，那么就称集合(A)是可分的
连续映射
所谓"连续映射"，通俗地说就是当"原像"连续地变化时，被映射出来的"像"也必定连续地变化，这样的映射就称为"连续映射"
设映射(T)是从距离空间((X,
ho))到距离空间((Y,
ho_1))上的映射，所谓连续映射，有如下三个等价定义
(1) 若({forall} epsilon > 0)，({exists} delta > 0)，当(x)与(x_0)满足(
ho(x,x_0)<delta)，必有(
ho_1(T(x),T(x_0))<epsilon)，则(T)为连续映射
(2) 若(limlimits_{n oinfty}x_n=x)，必有(limlimits_{n oinfty}T(x_n)=T(x))，则(T)为连续映射
(3) 若(S)是(Y)中的开集，(T^{-1}(S))必为(X)中的开集，则(T)为连续映射
柯西列
给定任何一个距离空间((X,d))，一个序列 (x_1, x_2, x_3, ...) 被称作柯西列，如果对于任何正实数(epsilon>0)，存在一个正整数(N)使得对于所有的整数(m,n>N)，都有 (d(x_m,x_n) < epsilon)，柯西列也被称为基本列
在柯西列中，越往后则元素之间靠得越近
完备的距离空间
完备的距离空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内
完备的距离空间对于距离上的极限运算是封闭的
在距离空间中，闭球套定理与空间的完备性是等价的