hdu 3669 Cross the Wall(斜率优化DP)

题目连接：hdu 3669 Cross the Wall

题意：

现在有一面无限大的墙，现在有n个人，每个人都能看成一个矩形，宽是w，高是h，现在这n个人要通过这面墙，现在只能让你挖k个洞，每个洞不能重叠，每个洞需要消耗你挖的w*h，现在问你最小消耗多少。

题解：

设dp[i][j]为前j个人挖i个洞的最小消耗。

首先我们先将每个人按w排序，我们可以发现，排序后的h是递减的，因为如果不是递减的，可以把那个点消掉，因为w[k]<w[j]&&h[k]<h[j]的话，那么第k个人就可以直接过第j个人的洞。

然后我们可以预处理一下。

然后可以得

dp[i][j]=min{dp[i-1][k]+w[j]*h[k+1]}(k<j)

然后考虑斜率优化

设k>l，对于dp[i][j],第k个人到第j个人通过一个洞比第l个人到第j个人通过一个洞更优

有dp[i-1][k]+w[j]*h[k+1]<=dp[i-1][l]+w[j]*h[l+1];

整理得

dp[i-1][k]-dp[i-1][l]/h[l+1]-h[k+1]<=w[j];

然后单调队列优化一下就好。

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=5e4+7;
int n,k,Q[N],ed;
ll dp[101][N],ans,inf=1ll<<60;
struct node
{
    ll w,h;
    bool operator < (const node &b)const{return w<b.w;}
}a[N],b[N];

ll getx(int k,int l){return -b[k+1].h+b[l+1].h;}
ll gety(int i,int k,int l){return dp[i][k]-dp[i][l];}
ll check(int i,int j,int k,int l){return gety(i,j,k)*getx(k,l)<=gety(i,k,l)*getx(j,k);}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&k))
    {
        F(i,1,n)scanf("%lld%lld",&a[i].w,&a[i].h);
        sort(a+1,a+1+n),ed=0;
        F(i,1,n)
        {
            while(ed&&a[i].h>b[ed].h)ed--;
            b[++ed]=a[i];
        }
        F(i,1,ed)dp[1][i]=b[i].w*b[1].h;
        F(i,2,k)
        {
            int head=1,tail=0;
            Q[++tail]=i-1;
            F(j,i,ed)
            {
                while(head<tail&&gety(i-1,Q[head+1],Q[head])<=b[j].w*getx(Q[head+1],Q[head]))head++;
                dp[i][j]=dp[i-1][Q[head]]+b[j].w*b[Q[head]+1].h;
                while(head<tail&&check(i-1,j,Q[tail],Q[tail-1]))tail--;
                Q[++tail]=j;
            }
        }
        ans=inf;
        F(i,1,k)if(ans>dp[i][ed])ans=dp[i][ed];
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}