hdu 2824 The Euler function(欧拉函数)

题目链接：hdu 2824 The Euler function

题意：

让你求一段区间的欧拉函数值。

题解：

直接上板子。

推导过程：

定义：对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目。

　　　　例如：φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。

性质：1.若p是质数，φ(p)= p-1.

　　　2.若n是质数p的k次幂，φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

　　　3.欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn)= φ(m)φ(n).

　　根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

　　E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

　　　　= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

　　　　= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a;

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
using namespace std;

const int N=3e6+7;
int prime[N],phi[N];
bool vis[N];
void PHI(int n,int cnt=0)//O(n)预处理1到n的欧拉函数
{  
    F(i,2,n)
    {  
        if(!vis[i])prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;  
        for(int j=1,k;j<=cnt&&(k=i*prime[j])<=n;j++)  
        if(vis[k]=1,i%prime[j]==0){phi[k]=phi[i]*prime[j];break;}
        else phi[k]=phi[i]*(prime[j]-1);
    }  
}

int main()
{
    int a,b;
    PHI(N-7);
    while(~scanf("%d%d",&a,&b))
    {
        long long ans=0;
        F(i,a,b)ans+=phi[i];
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}