[BZOJ3203] [SDOI2013]保护出题人(二分+凸包)
题面
题面较长，略
分析
对于第i关，我们算出能够打死前k个个僵尸的最小能力值，再取最大值就可以得到(y_i).
前j-1个僵尸到门的距离为(x_i+(i-j+1) imes d)，血量为(sum[i]-sum[j]),因此
[y_i=max(frac{sum_i-sum_j}{x_i+(i-j+1) imes d})= max(frac{sum_i-sum_j}{x_i+i imes d-(j+1) imes d})
]
这个方程没法用一般的斜率优化来转移，但我们注意到除法很像斜率的形式，实际上是((x_i+i imes d,sum_i))和(((j+1) imes d,sum_j))之间的斜率
那么问题就转化成，给出一个定点((x_i+i imes d,sum_i))，求一个点(((j+1) imes d,sum_j))，使得这两点间斜率最大
显然备选的点应该在一个斜率单调递增凸壳上。那么我们可以像斜率优化那样维护一个凸壳。找斜率最大点显然可以三分，但还有更简单的方法。注意到斜率最大点下方的点到定点的向量，和凸壳上相邻点的向量的叉积为负。我们只要找到x坐标最小，且叉积为正的点即可，直接二分答案。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 100000
#define eps 1e-6
using namespace std;
int n;
double d;
struct Vector{
double x;
double y;
Vector(){
}
Vector(double _x,double _y){
x=_x;
y=_y;
}
friend Vector operator + (Vector p,Vector q){
return Vector(p.x+q.x,p.y+q.y);
}
friend Vector operator - (Vector p,Vector q){
return Vector(p.x-q.x,p.y-q.y);
}
};
typedef Vector point;
double cross(Vector p,Vector q){
return p.x*q.y-p.y*q.x;
}
double slope(point p,point q){
return (p.y-q.y)/(p.x-q.x);
}
double a[maxn+5],x[maxn+5];
double suma[maxn+5];
point s[maxn+5];
int bin_search(int l,int r,point k){
int ans=1;
int mid;
while(l<=r){
mid=(l+r)>>1;
if(cross(s[mid+1]-s[mid],k-s[mid])<=eps){
ans=mid;
r=mid-1;
}else l=mid+1;
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%d %lf",&n,&d);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lf %lf",&a[i],&x[i]);
suma[i]=suma[i-1]+a[i];
}
int top=0;
double ans=0;
s[++top]=point(d,0); //((0+1)*d,suma[0])
for(int i=1;i<=n;i++){
int best=bin_search(1,top,point(x[i]+i*d,suma[i]));//找到斜率最大的点
double val=slope(point(x[i]+i*d,suma[i]),s[best]);
ans+=val;
point newp=point((i+1)*d,suma[i]);//插入新的可行点
while(top>1&&cross(s[top]-s[top-1],newp-s[top-1])<=eps) top--;
s[++top]=newp;
}
printf("%.0f
",ans);
}