[译]最长回文子串(Longest Palindromic Substring) Part I

[译]最长回文子串(Longest Palindromic Substring) Part I

英文原文链接在（http://leetcode.com/2011/11/longest-palindromic-substring-part-i.html）

+BIT祝威+悄悄在此留下版了个权的信息说：

问题：给定字符串S，求S中的最长回文子串。

这个有趣的问题常常在面试中出现。为什么呢？因为解决办法有很多种。单单我知道的就有5种。你能解决这个问题吗？来Online Judge试试看吧！

提示

首先你要知道回文是什么。回文就是从左右两边读都一样的字符串。例如”aba”是回文，”abc”不是回文。

一个常见的错误

有人很快会想到这样一个方法。这个方法有缺陷，不过很容易修正。

翻转S成为S’。查找S和S’最长公共子串，就是S的最长回文子串。

看起来有道理的样子。用实例检验下。

例如S=”caba”，S’=”abac”。

S和S’的最长公共子串是”aba”，确实是S的最长回文子串。

再看个例子。

S=”abacdfgdcaba”，S’=”abacdgfdcaba”。

S和S’的最长公共子串是”abacd”，不过很明显这不是回文。

暴力穷举法O(N³)

最简单的就是暴力穷举(Brute Force)对每个start和end位置的子串进行检测，判断其是否回文。显然有C(N,2)（组合）个子串。检测每个子串都需要O(N)的时间，所以此方法的时间复杂度为O(N³)。

动态规划法O(N²)时间O(N²)空间

我们可以用动态规划(Dynamic Programming即DP)法对暴力穷举法进行改进。记住，诀窍就是避免重复计算（即重复检测同一子串）。考虑这个例子”ababa”。如果我们已经检测过”bab”是回文，那么只需判断一下最左右的两个字符（即两个a）是否相同即可判定”ababa”是否回文了。

总结起来就是：

定义二维数组P[i,j]用以表示Si…Sj是回文（true）或不是回文（false）

那么可知P[i,j] = (P[i + 1, j - 1] && Si ==Sj)

初始条件是：P[i, i]=true，P[i, i + 1] = (S_i == S_i+1)

这个DP法的思路就是，首先可以知道单个字符和两个相邻字符是否回文，然后检测连续三个字符是否回文，然后四个。。。

此算法时间复杂度O(N²)，空间复杂度O(N²)。伪代码如下。

string longestPalindromeDP(string s) {
  int n = s.length();
  int longestBegin = 0;
  int maxLen = 1;
  bool table[1000][1000] = {false};
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    table[i][i] = true;
  }
  for (int i = 0; i < n-1; i++) {
    if (s[i] == s[i+1]) {
      table[i][i+1] = true;
      longestBegin = i;
      maxLen = 2;
    }
  }
  for (int len = 3; len <= n; len++) {
    for (int i = 0; i < n-len+1; i++) {
      int j = i+len-1;
      if (s[i] == s[j] && table[i+1][j-1]) {
        table[i][j] = true;
        longestBegin = i;
        maxLen = len;
      }
    }
  }
  return s.substr(longestBegin, maxLen);
}

提问：空间复杂度还能再改进吗？

更简单的算法O(N²)时间O(1)空间

下面介绍一个O(N²)时间O(1)空间的算法。

回文的特点，就是中心对称。对于有N个字符的字符串S，只有2N-1个中心。

为何是2N-1？因为两个字符之间的空档也可以是一个中心。例如”abba”的两个b中间就是一个中心。

围绕一个中心检测回文需要O(N)时间，所以总的时间复杂度是O(N²)。

string expandAroundCenter(string s, int c1, int c2) {
  int l = c1, r = c2;
  int n = s.length();
  while (l >= 0 && r <= n-1 && s[l] == s[r]) {
    l--;
    r++;
  }
  return s.substr(l+1, r-l-1);
}
 
string longestPalindromeSimple(string s) {
  int n = s.length();
  if (n == 0) return "";
  string longest = s.substr(0, 1);  // a single char itself is a palindrome
  for (int i = 0; i < n-1; i++) {
    string p1 = expandAroundCenter(s, i, i);
    if (p1.length() > longest.length())
      longest = p1;
 
    string p2 = expandAroundCenter(s, i, i+1);
    if (p2.length() > longest.length())
      longest = p2;
  }
  return longest;
}

+BIT祝威+悄悄在此留下版了个权的信息说：

PS：“中心检测法”是我胡诌的名字。

提问O(N)

是否存在O(N)时间的算法？当然有！不过理解起来有点费劲，我们下回分解。