[译]背景：着色的物理和数学(4)
（译者注：本文是翻译的Naty Hoffman的《Background: Physics and Math of Shading》。我希望通过翻译此文，彻底理解PBR的原理。某些我实在不知道如何恰当翻译的地方，就把英文原文也放上了。）
选择几何函数
很多发表的微表面BRDF函数中，都把分子G(l, v, h)的和分母(n•l)(n•v)的各用一个子表达式代替了，所以有必要给它们起个名字。由于分母可以被认为是“透视缩减因子”，且它的两部分都与可见性相关，我就称它为“可见性项”。有的BRDF函数（常常是那些用于电影和游戏中的）根本没有可见性项，这等于将可见性项设置为1，算是对几何函数的隐式定义：
(29)
这对于高度场微表面（对应Blinn-Phong的法线分布函数，毕竟它对所有背向的微观几何体表面区域都是0）这实际上是一个看起来可信的几何函数。当l=n且v=n时，Gimplicit()等于1，这对于高度场是正确的（在微表面法线方向上没有微观几何体的表面区域被遮挡）。它在l或v为掠射角时，它为0，这也是正确的（表面点被其他表面区域遮挡的概率，随观察者角度的增加而增加，极限是100%）。鉴于这一几何函数的耗费（一次循环都不需要），它有很高的“性价比”。
当比较Gimplicit()与其图形学文献中的几何函数时，我们发现它达到0的速度太快——它在湿度的掠射角就很暗了。换句话说，添加一个显式的集合函数，会让specular项的高光更亮（这可能看起来不符合直觉，然后我们想起来我们同时也在分母引入了透视缩减因子）。这个隐式的函数不受表面粗糙度的影响，这不符合真实——我们期望粗糙的表面比光滑的表面有更大的阴影和遮蔽概率。
图形学文献中最早的几何函数被称为“Cook-Torrance”，其出现在这两位作者的著名论文中[15, 16]：
(30)
Torrance和Sparrow[70]提出了一个几何函数，之后（在Equation 30几年后），Blinn[7]在一篇论文中首次提出这个几何函数的一个变形（因此，更准确的叫法应该是“Blinn-Torrance-Sparrow几何函数”，但是“Cook-Torrance”的用法已经太普遍了，改不了了）。这些年来Cook-Torrance几何函数被大量采用（特别是电影），但是它有几个问题：它是基于一个不真实的微观几何体模型（由无限长的凹槽组成的各向同性表面），且不受粗糙度影响。
另外，Cook-Torrance对游戏来说比较昂贵。但是，Kelemen et al.[41]提出了一个非常廉价高效的近似：
(31)
这几乎和隐式几何函数一样廉价了。它逼近Cook-Torrance几何函数和分母上的透视缩减因子，却只需要除以点积（反正这个点积也要在Fresnel项中计算）的平方。
当考虑整体上的精确度时，我个人推荐几何函数中的Smith函数族[66]。它们被广泛认为比Cook-Torrance更精确，而且考虑了粗糙度和法线分布的形状。原始的Smith函数被设计为供Beckmann的NDF用，但是Brown[9]和后来的Bourlier et al.[8]将Smith函数泛化为一套计算能适应任何NDF的几何函数的方法。Walter et al.[73]总结了这些成果，为Beckmann和Trowbridge-Reitz(GGX)（注意，Schlick对原始Smith函数的近似，严格来说，用在微平面BRDF中是错误的，因为它近似的是错误的函数版本。这个错误在多处被推荐给读者——悲剧的是包括我自己的书。但是，研究表明[38]，做一点参数重映射，它还能作为正确函数的高效近似）的NDF函数，给出了一个对Smith函数的高效的近似。Bagher et al.[4]针对他们提出的SGD版NDF，给出了一个Smith函数的近似。
Smith函数组已经被用于制作效果良好的电影[10, 54]，尽管前述论文的作者推荐用户要调整粗糙度值。已发表的对各种Smith函数的近似，还是比Kelemen函数昂贵的多，尽管可能为游戏找到便宜的近似，在相同的程度上还是Kelemen函数更成功地逼近（更复杂得多的）Cook-Torrance几何函数（Schlick-Smith几何函数族的类似近似在本课程另一讲中有介绍）。
更多内容
《Real-Time Rendering》第三版第7章[58]，概述了基于物理的着色模型，比本课程更加深入一些。如果需要更深入了解，考虑读一下Glassner的《Principles of Digital Images Synthesis》[25, 26]，或者Dorsey、Rushmeier和Sillicon的《Digital Modeling of Material Appearance》[21]。注意，这些书里不包括这几年最新的研究成果。
Dutre的免费在线《Global Illumination Compendium》[23]是BRDF、辐射度量数学和各种相关东西的有用的参考书。
最后，本课程的其他讲（包括2010和2012的前任）包含很多将基于物理的着色模型用于生产的有用信息。
感谢
（这个就不翻译了，有兴趣的自己看）
参考文献
（译者注：从PDF里直接复制，会出现很多乱码，所以我直接上图了。）
