解题营_动规

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动态规划

前言

8.20

写过去的时间比较久了 也懒得补代码了 思路问题不是很大 扔下了...

大多数的题已经做完了 代码其实是有的 但是隔得时间比较久了 再回来写就感觉写不下去了.

再找机会吧

当然做过的题目在洛谷上都是可以找到提交记录的..

题目

P2704 炮兵阵地

经典的状压 (dp)

P5933 串珠子

状压

联通难以处理 正难则反 考虑算出不联通的方案数 再用总方案数减去

设 (f_S) 表示选点状态为 (S) 时 有多少联通子图

联通子图的数量不容易计算 考虑计算不联通的子图数量

随便钦定 (S) 内的一个点 (p) 枚举 (p) 所在的联通块 (T in S) 预处理 (g_S) 表示 (S) 内的子图数量(所有边的乘积)

P1777 帮助

将移动 (k) 分为两步 先删 再插入被删的数

如果已知删去的是那些数 插入的时候可以贪

一个数在插入过程中产生代价当且仅当该数在删除过程中删干净了

数的种类可以压

仅考虑删除 设 (f_{i, j, x}) 表示仅考虑前 (i) 个数 从中删掉 (j) 个数且最后剩下的数是 (x) 的最小混乱度

考虑插入步骤产生的影响 直接压没被删掉的数的集合 设 (f_{i, j, x, S}) 表示 考虑前 (i) 个数 删去 (j) 个数 最后剩下的数为 (x) 且未被删除的数的集合为 (S) 时的最小混乱度

P6622 信号传递

从第 (i) 个位置传到第 (j) 个位置 如果 (i < j) 则 时间为 (j - i) 否则为 (K imes (i + j))

信号站的数量少 可以压

信号传递的顺序无关紧要 只序言知道对于每个 (i, j) 有多少次从 (i) 传到 (j) 和有多少次从 (j) 传到 (i)

预处理每两个信号站之间的传递次数

对于位置 (x, y) 的两个信号站 如果有 (A) 次从左到右 和 (B) 次从右到左 那么产生的时间为 (A(y - x) + BK(x + y))

设 (f_S) 表示给 (S) 内的信号站排序的最小传递时间 每加入一个点算它作为 (x) 和 (y) 的时间贡献

P3959 宝藏

点数少 压点集 枚举子集

最后打通的为一棵树

代价和点到根的距离有关 考虑距离

按照离根的距离一层一层加点

设 (f_{i, S}) 表示打通 (S) 这个集合 距离根最远的点为 (i) 的最小代价 转移枚举距离为 (i) 的子集 (T) 然后对于 (T) 中每个点在 (S/T) 里找到代价最小的点

Pay to Win

通过以下操作将 (0) 变成 (N)

• 花 (A) 将数字乘 (2)
• 花 (B) 将数字乘 (3)
• 花 (C) 将数字乘 (5)
• 花 (D) 将数字加一或减一

(N leq 10^{18})

设 (f_x) 表示将 (0) 变为 (x) 的最小代价

第一个乘法前可能有若干个加一

将一次乘法和若干次加法绑定成一次操作

复杂度为 (O(N))

可以采用记搜 避开转移不到 (N) 的状态 有用的 (x) 只有 (frac N{2^a3^b5^c}) 的上取整或下取整形式

P3174 毛毛虫

确定一条链就能确定一个对应的毛毛虫 相当于求链

一条链可以断成两段 设 (f_u) 表示以 (u) 为根的子树中以 (u) 为端点的链能抽出的毛毛虫的最大值 维护最大和次大儿子

P1472 奶牛家谱

恰好为 (K) 比较麻烦 改为 不超过 (K)

设 (f_{i, j}) 表示有多少点数为 (i) 最大深度不超过 (j) 的二叉树 转移枚举左儿子的点数

P1131 时态同步

对每个节点 其包含的所有叶子到它的距离相同

设 (f_u) 表示将 (u) 为根的字数内时态同步的最小代价

转移找最大的到叶子的距离 其他儿子与该距离做差

P1623 树的匹配

设 (f_{u, 0/1}) 表示 (u) 为根的子树内的 (u) 点是否选的最大匹配数量

[f_{u, 0} = sum max(f_{v, 0}, f_{v, 1})\ d = f_{v, 0} - max(f_{v, 0}, f_{v, 1})\ d = min(0, f_{v, 0} - f_{v, 1})\ f_{u, 1} = f_{u, 0} + 1 + d ]

设 (f_{u, 0/1}) 表示 (u) 为根的子树内 (u) 点是否选的匹配数匹配方案数

[f_{u, 0} = prod (f_{v, 0} + f_{v, 1})\ f_{u, 1} = f_{u, 0}sum frac{f_{v, 0}}{f_{v, 0} + f_{v, 1}} ]

设 (g_{u, 0/1}) 表示 (u) 为根的子树内最大匹配

设 (f_{u, 0/1}) 表示 (u) 为根的子树内 (u) 点是否选的最大匹配的方案数

[f_{u, 0} = prod ([g_{v, 0} geq g_{v, 1}] f_{v, 0} + [g_{v, 0} leq g_{v, 1}]f_{v, 1})\ f_{u, 1} = f_{u, 0} imes sum_{d_v = d} frac {f_{v, 0}}{[g_{v, 0} geq g_{v, 1}] f_{v, 0} + [g_{v, 0} leq g_{v, 1}]f_{v, 1}} ]

通过 (g) 判断转移是否可行

P5322 排兵布阵

要么直接占下来 要么不派

设 (f_{i, j}) 表示在前 (i) 个城堡派遣 (j) 个士兵的最大得分 转移枚举第 (i) 个城堡派遣的士兵数量(其他玩家派的兵力乘 (2) 加 (1))

P4141 消失之物

容斥或者卷

P1272 重建道路

树上背包

小 (Y) 的背包计数问题

设 (f_{i, j}) 表示使用前 (i) 个物品装满体积和为 (j) 的背包的方案数

转移枚举第 (i) 个数用了多少个

[f_{i, j} = sum_{k = 0}^i f_{i - 1, j - i imes k} ]

复杂度 (O(n^3))

一般的多重背包

二进制拆分 (O(n^2log n))

对于方案数

单调队列 (O(n^2))

前缀和优化

预处理 (g_{i, j})

[g_{i, j} = sum_{k = 0}^{lfloor frac ji floor} f_{i, j - ki} ]

转移

[f_{i, j} = g_{i - 1, j} - g_{i - 1, j - i imes (i - 1)} ]

P3216 数学作业

设 (f_i) 表示将 (1) 到 (i) 拼起来 如果 (i) 的位数为 (k) 则转移为 (f_i = f_{i - 1} imes 10^k + i)

对于 (k) 相同的一段数 可以用矩阵快速幂优化 ({f_i, f_{i + 1}, i})

P2579 沼泽鳄鱼

若没有食人鱼 设 (f_u) 表示走到 (u) 点的方案数 (g_u) 是多走一步到达 (u) 点的方案数 有 (g = f imes A) 其中 (A) 为原图的邻接矩阵 所以走 (K) 步就是求 (A^K)

考虑食人鱼的话 可以将食人鱼的周期直接看做 (12) 设当前食人鱼在周期中走到 (i) 有 (g = f imes A imes B_i) 其中 (B_i) 只在对角线上没有食人鱼的点上有值

于是要求的矩阵变为 (AB_1AB_2AB_3dots AB_{K mod 12 + 1}) 将每十二个绑到一起 做矩阵快速幂 剩下的直接乘上去

P3205 合唱队

每个人只能插入到最左边或最右边 不能插入到中间

在插入的过程中队形始终对应最终队形的一个区间

区间 (dp)

设 (f_{l, r, 0/1}) 表示排列成区间 ([l, r]) 的序列 最后一个数插入左边还是右边的方案 转移枚举倒数第二个人插入左边还是右边

P4302 字符串折叠

区间 (dp)

设 (f_{l, r}) 表示将 ([l, r]) 折叠的最小长度

转移考虑两种情况

多个折叠构成 枚举分解点分成两个

本身就是一个折叠 该串由若干小串重复若干次得到

枚举小串的长度 小串的长度必须整除原串的长度 确定小串长度后再暴力判断原串是否由小串重复得到

AT2558 Many Moves

设 (f_{i, j}) 表示处理前 (i) 个要求后两个棋子的位置分别在 (x_i) 和 (j)

[f_{i + 1, j} = f_{i, j} + |x_i - x_{i + 1}|\ f_{i + 1, x_i} = f_{i, j} + |j - x_{i + 1}| ]

复杂度 (O(qn))

以线段树分别维护 (f_{i, j}, f_{i, j} + j, f_{i, j} - j) 的第二个维度

将 (i) 看做时间轴 以 (j) 为下标 随着 (i) 的改变 维护线段树

对于上面第一个式子 相当于全局加

第二个式子 (min (f_{i + 1, x_i}, f_{i, j} + |j - x_{i + 1}|))

分类讨论拆绝对值

对 (j leq x_{i + 1}) 求 (min (f_{i, j} + x_{i + 1} - j))

对 (j > x_{i + 1}) 求 (min (f_{i, j} + j - x_{i + 1}))

(x_{i + 1}) 是固定的可以拿出来

线段树中维护 (f_{i, j} + j) 和 (f_{i, j} - j)

P1850 换教室

设 (f_{i, j, 0/1}) 表示前 (i) 个教室 申请其中 (j) 个 最后一个是否申请的最小期望代价

转移枚举上一个教室是否申请

CF908D New Year and Arbitrary Arrangement

无穷等比数列求和 当 (0 < q < 1)

[sum_{i = 1}^{infty} q^i = frac 1{1 - q} ]

在最后加一个 (a) 没有影响 在最后加一个 (b) 会增加若干个 (ab) 序列

设 (f_{i, j}) 表示当前有 (i) 个 (a) 和 (j) 个 (ab) 子序列的状态加到最后期望 (ab) 子序列的数量是多少

[f_{i, j} = A imes f_{i + 1, j} + B imes f_{i, j + i} ]

当 (j geq k) 时

[f_{i, j} = j ]

第一维没有边界

将 (i) 限制在 (k) 以内 考虑如果直接求 (f_{k, j}) 的值

第二维会超过 (k) 直接带入值

[f_{k, j} = Af_{k + 1, j} + B(j + k)\ = A^2f_{k + 2, j} + AB(j + k + 1) + B(j + k)\ = dots\ = sum_{i = 0}^{infty}A^iB(j + k + i)\ = sum_{i = 0}^{infty}A^iB(j + k) + sum_{i = 0}^{infty}A^iBi\ = B(j + k)sum_{i = 0}^{infty}A^i + Bsum_{i = 1}^{infty}A^ii ]

对于前面那一坨东西 有:

[B(j + k)sum_{i = 0}^{infty}A^i = frac {B(j + k)}{1 - A} = j + k ]

对于后面那一坨东西

设:

[sum_{i = 1}^{infty}A^ii = Q ]

有:

[Q - AQ = A + sum_{i = 2}^{infty}A^i = sum_{i = 1}^{infty}A^i = frac A{1 - A} ]

所以:

[Q = frac A{(1 - A)^2} = frac A{B^2} ]

故原式可化为:

[j + k + frac AB ]

得到了 (f_{k, j}) 的值

所以

当 (i = k) 时 (f_{i, j} = i + j + frac AB)

当 (j geq k) 时 (f_{i, j} = j)

复杂度 (O(k^2))

答案为 (f_{0, 0})

CF713C Sonya and Problem Wihtout a Legend

设 (b_i = a_i - i)

则 (a_i leq a_{i + 1} - 1) 等价于 (b_i leq b_{i + 1})

设 (f_{i, j}) 表示将前 (i) 个数变为单调不减且 (b_i = j) 的操作数

[f_{i, j} = |b_i - j| + min_{k leq j}(f_{i - 1, k}) ]

后面那一坨东西是前缀最小值 可以预处理

[g_{i, j} = min(f_{i, j}, g_{i, j - 1})\ f_{i, j} = |b_i - j| + g_{i - 1, j} ]

复杂度与值域有关 离散化

P2511 木棍分割

第一问显然可以二分 第二问 (dp)

设 (f_{i, j}) 表示前 (i) 个数分为 (j) 段 每段不超过 (x) 的方案数

转移枚举最后一段的长度

[f_{i, j} = sum_{k = 1}^i f_{i - k, j - 1}[sum_{i - k + 1, i} leq x] ]

复杂度 (O(mn^2)) 显然可以超时

(k) 的枚举是有边界的 将 (dp) 数组的第一维可以前缀和优化

边界 也就是以每一个位置作为右端点的最大区间 是可以二分或者双指针 找到边界后可以把后面那东西去掉

P5999 kangaroo

相当于求有多少排列大小交替并且第一个和最后一个分别为 (s) 和 (t)

对于一个合法的排列 (p) 如果只考虑不超过 (x) 的值 (p) 会被划分为若干连续段

设 (f_{i, j}) 表示考虑不超过 (i) 的值 有多少最终排列能被划分为恰好 (j) 段的方案数

转移考虑加入 (i) 后 (i) 是单独作为一个段或是将两个相邻的段连接成了一个段

由于 (i) 是当前最大值 所以 (i) 不会作为段的端点

[f_{i, j} = f_{i - 1, j + 1} imes j + f_{i - 1, j - 1} imes (j - [i > s] - [i > t])\ f_{s, j} = f_{s - 1, j} + f_{s - 1, j - 1}\ f_{t, j} = f_{t - 1, j} + f_{t - 1, j - 1} ]

答案为 (f_{n, 1})

P6280 Exercise G

对于每个位置建图的话会形成若干个环 所以 (K) 就是所有环长的 (lcm)

(lcm) 只需要考虑每个质数的指数

相当于 求所有 (K) 的和满足 (K) 质因数分解后所有的 (p^x) 加起来不超过 (n)

设 (f_{i, j}) 表示前 (i) 个质数 所有 (p^x) 加起来为 (j) 时 (K) 的和

[f_{i, j} = f_{i - 1, j} + sum_{x > =}f_{i - 1, j - p^x} imes p^x ]

CF348D Turtles

可以看做一只从 ((1, 2)) 到 ((n - 1, m)) 另一条从 ((2, 1)) 到 ((n, m - 1)) 不妨设为 (A, B, C, D)

两只乌龟可以分别 (dp) 再合并 考虑如果剔除相交的方案

对于 (A o B, C o D) 的任意一条相交路径都可以在第一个交点位置翻折 得到 (A o D, C o B) 的路径 这两者是一一对应的关系 所以方案数相同

做两次 (dp) 再相乘 即 ((A o B) imes (C o D) - (C o B) imes (A o D))

P1453 城市环路

基环树独立集

设 (f_{u, 0/1}) 表示 (u) 为根的子树中最大独立集

找一条边断掉 跑树形 (dp) 即可