Luogu P4016 「 网络流 24 题 」负载平衡问题

吐槽题目难度，这个题建模好像比前两个都要难，但是难度评级却比第二个要低。

解题思路

依旧是考虑如何建模和建立源点汇点。每个点的货物数量到最后都一样的话肯定是等于他们的平均值。用 $num$ 数组存储原来的货物数量，$tmp$ 是平均值。

• 如果 $num[i]-tmp$ 大于 $0$ 就表示这个点会免费多出一些货物，那就将源点与这个点相连。容量就是 $num[i]-tmp$，花费为 $0$ ；
• 如果 $tmp-num[i]$ 大于 $0$ 就表示这个点需要从别的地方运进一些货物，就将这个点与汇点相连。容量就是 $tmp-num[i]$，花费为 $0$ ；
• 再就每个点要和它左右两边的点相连，由于已经有上面的两种边作为限制。所以这里的容量直接设为 $INF$ ，花费为 $1$ 。

这就建好了图，这个最小的搬运量就等于在这个网络上的最小费用最大流。

附上代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
inline int read() {
    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (c <= '9' && c >= '0') {x = x*10 + c-'0'; c = getchar();}
    return x * f;
}
const int maxn = 25003, INF = 2147483647;
int n, num[103], tmp, s, t, head[105], cnt = 1, dis[105], x[105], pre[105], Ans;
bool vis[105];
struct edge {
    int u, v, w, p, nxt;
}ed[maxn];
inline void addedge(int u, int v, int w, int p) {
    ed[++cnt].nxt = head[u];
    ed[cnt].u = u, ed[cnt].v = v, ed[cnt].w = w, ed[cnt].p = p;
    head[u] = cnt;
}
inline void add(int u, int v, int w, int p) {
    addedge(u, v, w, p), addedge(v, u, 0, -p);
}
inline bool SPFA() {
    queue<int> Q;
    for(int i=0; i<=n+1; i++) dis[i] = INF;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    vis[s] = 1, dis[s] = 0, Q.push(s);
    int u;
    while (!Q.empty()) {
        u = Q.front();
        Q.pop();
        vis[u] = 0;
        for(int i=head[u]; i; i=ed[i].nxt) {
            if(dis[ed[i].v] > dis[u] + ed[i].p && ed[i].w > 0) {
                dis[ed[i].v] = dis[u] + ed[i].p;
                pre[ed[i].v] = i;
                if(!vis[ed[i].v]) {
                    vis[ed[i].v] = 1;
                    Q.push(ed[i].v);
                }
            }
        }
    }
    if(dis[t] != INF) return true;
    return false;
}
inline void EK() {
    int mn = INF;
    for(int i=t; i!=s; i=ed[pre[i]].u) 
        mn = min(mn, ed[pre[i]].w);
    for(int i=t; i!=s; i=ed[pre[i]].u) {
        ed[pre[i]].w -= mn;
        ed[pre[i]^1].w += mn;
        Ans += ed[pre[i]].p * mn;
    }
}
int main() {
    n = read();
    static int sum;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        num[i] = read();
        sum += num[i];
    }
    tmp = sum / n;
    s = 0, t = n+1;
    for(int i=1; i<=n; i++) x[i] = num[i] - tmp;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        if(x[i] > 0) add(s, i, x[i], 0);
        else add(i, t, -x[i], 0);
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        if(i != 1) add(i, i-1, INF, 1);
        if(i != n) add(i, i+1, INF, 1);
    }
    add(1, n, INF, 1), add(n, 1, INF, 1);
    while (SPFA()) EK();
    printf("%d", Ans);
}