BZOJ5332: [Sdoi2018]旧试题(莫比乌斯反演)

时光匆匆，转眼间又是一年寒暑……

这是小 Q 同学第二次参加省队选拔赛。

今年，小 Q 痛定思痛，不再冒险偷取试题，而是通过练习旧 试题提升个人实力。可是旧试题太多了，小 Q 没日没夜地做题，却看不到前方的光明在哪里。

一天，因做题过度而疲惫入睡的小 Q 梦到自己在考场上遇到了一道好像做过的题目，却怎么也想不 起曾经自己是怎么解决它的，直到醒来还心有余悸。

小 Q 眉头一皱，感觉事情不妙，于是他找到了你，希望你能教他解决这道题目。小 Q 依稀记得题目 要计算如下表达式的值

　　$({sum_{i=1}^{A}}{sum_{j=1}^{B}}{sum_{k=1}^{C}}d(ijk))mod(10^9+7)$

其中 d(ijk) 表示 ijk 的约数个数。

Input

第一行包含一个正整数 T，表示有 T 组测试数据。 接下来 T 行，每行描述一组测试数据，包含三个整数 A, B 和 C，含义见题目描述。

Output

对于每组测试数据，输出一行，包含一个整数，表示所求表达式的值。 

解题思路：

极限卡常题，具体卡常的方法主要是使用vector代替链式前向星，如果还过不去，还是看看dalao们的博客吧。

这里主要讲算法。

首先是喜闻乐见的莫比乌斯反演，三个$sum$有点中暑，慢慢推吧其实都差不多。

不妨设$Aleq Bleq C$,则:

$Ans={sum_{i=1}^{A}}{sum_{j=1}^{B}}{sum_{k=1}^{C}}d(ijk)$

$={sum_{i=1}^{A}}{sum_{x|i}}{sum_{j=1}^{B}}{sum_{y|j}}{sum_{k=1}^{C}}{sum_{z|k}}{varepsilon(gcd(x,y))}{varepsilon(gcd(y,z))}{varepsilon(gcd(x,z))}$

$={sum_{x=1}^{A}}{sum_{x|i}^{A}}{sum_{y=1}^{B}}{sum_{y|j}^{B}}{sum_{z=1}^{C}}{sum_{z|k}^{C}}{varepsilon(gcd(x,y))}{varepsilon(gcd(y,z))}{varepsilon(gcd(x,z))}$

$={sum_{x=1}^{A}}{sum_{y=1}^{B}}{sum_{z=1}^{C}}{leftlfloor{frac{A}{x}} ight floor}{leftlfloor{frac{B}{y}} ight floor}{leftlfloor{frac{C}{z}} ight floor}{varepsilon(gcd(x,y))}{varepsilon(gcd(y,z))}{varepsilon(gcd(x,z))}$

$={sum_{x=1}^{A}}{sum_{y=1}^{B}}{sum_{z=1}^{C}}{leftlfloor{frac{A}{x}} ight floor}{leftlfloor{frac{B}{y}} ight floor}{leftlfloor{frac{C}{z}} ight floor}{sum_{i|gcd(x,y)}}{sum_{j|gcd(y,z)}}{sum_{k|gcd(x,z)}}{mu(i))}{mu(j))}{mu(k))}$

$={sum_{i=1}^{A}}{sum_{j=1}^{B}}{sum_{k=1}^{A}}{mu(x)}{mu(y)}{mu(z)}{sum_{x|lcm(i,k)}}{sum_{y|lcm(i,j)}}{sum_{z|lcm(j,k)}}{left lfloor {frac{A}{i}} ight floor}{left lfloor {frac{B}{j}} ight floor}{left lfloor {frac{C}{k}} ight floor}$

将$mu$不等于0的连边，双向改单向枚举三元环就好了。

代码：

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long lnt;
const int N=100010;
const lnt mod=(lnt)(1e9+7);
struct edge{
    int from;
    int to;
    int lcm;
}ed[N*100];
struct ent{
    int twd;
    int lcm;
};
int prime[N];
int miu[N];
int ind[N];
bool vis[N];
lnt Lcm[N];
lnt F[3][N];
int cnt;
std::vector<ent>hd[N];
int A,B,C;
void gtp(void)
{
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            miu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<N;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
                break;
            miu[i*prime[j]]=-miu[i];
        }
    }
    return ;
}
lnt gcd(lnt x,lnt y)
{
    if(!y)
        return x;
    return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
    int T;
    gtp();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        A=std::min(a,std::min(b,c));
        C=std::max(a,std::max(b,c));
        B=a+b+c-A-C;
        cnt=0;
        for(int i=1;i<=C;i++)
            hd[i].clear(),ind[i]=0;
        for(int i=1;i<=C;i++)
            F[0][i]=F[1][i]=F[2][i]=0;
        for(int i=1;i<=A;i++)
            for(int j=i;j<=A;j+=i)
                F[0][i]+=A/j;
        for(int i=1;i<=B;i++)
            for(int j=i;j<=B;j+=i)
                F[1][i]+=B/j;
        for(int i=1;i<=C;i++)
            for(int j=i;j<=C;j+=i)
                F[2][i]+=C/j;
        lnt ans=0;
        for(int i=1;i<=A;i++)
            if(miu[i])
                ans+=miu[i]*F[0][i]*F[1][i]*F[2][i];
        ans%=mod;
        for(int d=1;d<=C;d++)
        {
            for(int i=1;i*d<=C;i++)
            {
                if(!miu[i*d])
                    continue;
                for(int j=i+1;1ll*j*i*d<=C;j++)
                {
                    if(miu[j*d]==0||gcd(j,i)!=1)
                        continue;
                    int x=i*d,y=j*d,lcm=i*j*d;
                    ans+=miu[x]*(F[0][y]*F[1][lcm]*F[2][lcm]+F[1][y]*F[0][lcm]*F[2][lcm]+F[2][y]*F[1][lcm]*F[0][lcm]);
                    ans=ans%mod;
                    ans+=miu[y]*(F[0][x]*F[1][lcm]*F[2][lcm]+F[1][x]*F[0][lcm]*F[2][lcm]+F[2][x]*F[1][lcm]*F[0][lcm]);
                    ans=ans%=mod;
                    ind[x]++;
                    ind[y]++;
                    ed[++cnt]=(edge){x,y,lcm};
                }
            }
        }
        for(int i=1;i<=cnt;i++)
        {
            int f=ed[i].from,t=ed[i].to,v=ed[i].lcm;
            if(ind[f]<ind[t]||(ind[f]==ind[t]&&f<t))
                hd[f].push_back((ent){t,v});
            else
                hd[t].push_back((ent){f,v});
        }
        for(int i=1;i<=C;i++)
        {
            for(int j=0;j<hd[i].size();j++)
                Lcm[hd[i][j].twd]=hd[i][j].lcm;
            for(int j=0;j<hd[i].size();j++)
            {
                int a=i,b=hd[i][j].twd;
                for(int k=0;k<hd[b].size();k++)
                {
                    int c=hd[b][k].twd;;
                    int lab=hd[a][j].lcm;
                    int lbc=hd[b][k].lcm;
                    int lac=Lcm[c];
                    if(!lac)
                        continue;
                    lnt tmp=miu[a]*miu[b]*miu[c];
                    lnt ttt=F[0][lab]*F[1][lbc]*F[2][lac]+
                            F[0][lab]*F[1][lac]*F[2][lbc]+
                            F[0][lbc]*F[1][lac]*F[2][lab]+
                            F[0][lbc]*F[1][lab]*F[2][lac]+
                            F[0][lac]*F[1][lab]*F[2][lbc]+
                            F[0][lac]*F[1][lbc]*F[2][lab];
                    ans=(ans+ttt*tmp%mod)%mod;
                }
            }
            for(int j=0;j<hd[i].size();j++)
                Lcm[hd[i][j].twd]=0;
        }
        printf("%lld
",(ans%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}