「算法笔记」背包问题解题思路

本文中，约定物品个数为 (n)，背包的最大价值为 (m)。

多重背包问题的转化

1. 可以通过把一个多重背包中的物品拆成多个 (01) 背包中的物品（每次大小翻倍，最后余下的单独拆出一个物品）。插入一个物品的复杂度为 (O(m imes log m))。比较好写，较常用。
2. 可以使用单调队列来优化 ( ext{DP})，插入一个物品的复杂度为 (O(m))。比较难写，卡常时用。

完全背包的特殊性质

1. 对于物品集合 (A) 和物品集合 (B)，(A igcup B) 的完全背包就等于 (A) 的完全背包和 (B) 的完全背包合并的结果。
2. 如果有多个大小相同的物品，肯定是取价值最大的物品最优。

任意背包的通用思路

1. 合并两个背包的时间复杂度是 (O(m^2))，而加入一个物品的复杂度是 (O(m)) 左右。于是解决问题时，我们尽量避免合并两个背包。
2. 如果只计算每种体积是否可以达到，可以用 ( ext{bitset}) 进行常数优化。
3. 如果计算方案数，背包可以删除物品，否则不行。

例题试炼

例题一：

(q) 个询问。每次问区间 ([l, r]) 的完全背包。强制在线。

(n, q le 10^5, m le 30)。

线段树维护区间大小为 (k (1 le k le m)) 的最大价值，对于每个询问做完全背包即可。时间复杂度 (O(n imes log n imes m + q imes m^2))。

例题二：

询问对于 (1 le i le n)，除了第 (i) 个物品以外的物品的 (01) 背包。

(n, m le 3000)。

分治，递归到左半边时加入右半边的物品，递归到右半边时加入左半边的物品。时间复杂度 (O(n imes log n imes m))。

例题三：

一棵树，每个点都是物品。(q) 次询问，每次询问两点路径 (01) 背包。

(n, q le 10^5, m le 30)。

直接树上倍增需要合并背包，效率低下。考虑点分治，对于 ( ext{DFS}) 只需加单个物品，处理询问时只需合并两个背包。时间复杂度 (O(n imes log n imes m + q imes m^2))。