【题解】2021牛客暑期多校第四场 B.Sample Game

2021牛客暑期多校第四场 Sample Game

题意

有一个随机数生成器，生成数(x)的概率为(p_x)。现在我们进行如下操作直至结束：

(1) 随机生成一个数(x)。

(2) 如果已经生成的数中没有比(x)更大的数，则返回操作(1)，否则，记当前已经生成的数的个数为(z)，则得到(z^2)分，操作结束。

求得分的期望。

(2le nle 100)

题解

容易发现，如果操作没有停止，则已经生成的数一定是类似于(1,1,2,3,4,5,5...)(按生成顺序排列)这样的非递减序列。设(X)为已经生成的数的个数，则(X)是(Bbb{N})上的离散随机变量。记(g_i=P(X>i))，即长度为(i)时还没有停止的概率。下面考虑如何计算(P(X>i))，假设当前长度为(L)，数(x)的出现次数为(cnt_x)，由于这些数的出现次序是固定的，故有

[P(X>L)=sumprod_{sum cnt_x=L}p_x^{cnt_x} ]

则({g_i})对应的生成函数为

[egin{align} G(x)=sum_{i=0}^{infty}g_ix^i=sum_{i=0}^{infty}P(X>i)x^i=prod_{k=1}^{n}sum_{i=0}^{infty}p_k^ix^i=prod_{k=1}^{n}frac{1}{1-p_kx} end{align} ]

则得分的期望为

[egin{align} E&=sum_{i=1}^{infty}P(X=i)i^2\ &=sum_{i=1}^{infty}(P(Xge i)-P(Xge i+1))i^2\ &=sum_{i=0}^{infty}(P(X> i)-P(X> i+1))(i+1)^2\ &=sum_{i=0}^{infty}P(X> i)(i+1)^2-sum_{i=0}^{infty}P(X> i+1)(i+1)^2\ &=sum_{i=0}^{infty}P(X> i)(i+1)^2-sum_{i=1}^{infty}P(X> i)i^2\ &=sum_{i=0}^{infty}P(X> i)(i+1)^2-sum_{i=0}^{infty}P(X> i)i^2\ &=sum_{i=0}^{infty}P(X> i)((i+1)^2-i^2)\ &=sum_{i=0}^{infty}P(X> i)(2i+1)\ &=2G'(1)+G(1).\ end{align} ]

由于

[frac{G'(x)}{G(x)}=[ln G(x)]'=[sum_{k=1}^{n}ln frac{1}{1-p_kx}]'=sum_{k=1}^{n}frac{p_k}{1-p_kx}, ]

故

[G'(x)=G(x)sum_{k=1}^{n}frac{p_k}{1-p_kx}. ]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long ;
const ll M=998244353;
ll ans=1,a[102];
int n;
ll pm(ll x,ll b){x%=M;ll res=1;while(b){if(b&1)res=res*x%M;x=x*x%M;b>>=1;}return res;}
void f1(){
	cin>>n;
	ll na=0,ans=1,res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];na+=a[i];na%=M;
	}
	ll inv=pm(na,M-2);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=a[i]*inv%M;
		ll tmp=pm(1+M-a[i],M-2);
		res+=tmp*a[i]%M;
		res%=M;
		ans=ans*tmp%M;
	}
	res=(res*2%M+1)%M;
	ans=ans*res%M;
	cout<<ans;
}
int main(){
	f1();
	return 0;
}