【算法导论】学习笔记——第12章 二叉搜索树

搜索树数据结构支持多种动态集合操作，包括SEARCH、MINIMUM、MAXIMUM、PREDECESSOR、SUCCESSOR、INSRT和DELETE操作等。基本的搜索树就是一棵二叉搜索树。
12.1 什么是二叉搜索树
1. 二叉搜索树的性质：
设x是二叉搜索树中的一个结点。如果y是x左子树中的一个结点，那么y.key<=x.key。如果y是x右子树中的一个结点，那么y.key>=x.key。
三种遍历时间复杂度是O(n)，这是显然的。

12.1-3

void Inorder_Tree_Walk_Nonrecursive_1(Node_t *x) {
    stack<Node_t *> S;
    bool mid = false;

    printf("Using stack to implement Inorder_Tree_Walk:
");
    S.push(x);
    while (!S.empty()) {
        if (x->l == NULL || mid) {
            printf("%d ", x->key);
            S.pop();
            if (x->r == NULL) {
                if (S.empty())
                    break;
                x = S.top();
                mid = true;
            } else {
                x = x->r;
                S.push(x);
                mid = false;
            }
        } else {
            x = x->l;
            S.push(x);
        }
    }
    printf("
");
}
void Inorder_Tree_Walk_Nonrecursive_2(Node_t *x) {
    printf("Using nonstack to implement Inorder_Tree_Walk:
");
    Node_t *p = x->p, *y = NULL;
    bool ret = false, retr = false;

    while (!retr || y!=p) {
        if (x->l == NULL || ret) {
            if (!retr)
                printf("%d ", x->key);
            if (x->r == NULL || retr) {
                retr = (x == y->r);
                x = y;
                y = y->p;
                ret = true;
            } else {
                y = x;
                x = x->r;
                ret = false;
            }
        } else {
            y = x;
            x = x->l;
        }
    }
    printf("
");
}

12.1-5


12.2 查询二叉搜索树
除了基本的SEARCH外，还包括MINIMUM、MAXIMUM、SUCCESSOR、PREDESSOR等查询操作。

12.2-5


12.2-6


12.2-7


12.2-8


12.2-9


12.3 插入和删除
插入操作比较简，基本二叉树的删除操作需要分类讨论。书中使用了一个子函数TRANSPLANT简化了一些基本操作，使得DELETE过程变得更加清晰。
插入和删除的时间复杂度都是O(h).

12.3-2


12.3-3


12.3-4
不可交换，反例如下图：


12.3-5
中文的《算法导论（第3版）》这道题完全翻译错了，去看了一下英文的搞懂了题目做的。
如提示所示，就是利用后继的属性重新实现插入、删除、查找函数。
求结点p的父节点的思路是先求得p所在子树的最大值，该值所在结点的后继就是p的父节点。 其余
操作均需要利用后继的性质。以插入为例。

void Tree_Insert(Tree_t *t, Node_t *z) {
    Node_t *y = NULL;
    Node_t *x = t->root;
    while (x != NULL) {
        y = x;
        if (z->key < x->key)
            x = x->l;
        else
            x = x->r;
    }
    if (y == NULL) {
        t->root = z;    // tree t was empty
        z->succ = NULL;
    } else if (z->key < y->key) {
        Node_t *p = ParentOf(y);
        z.succ = y;
        p.succ = z;
    } else {
        z->succ = y->succ
        y->succ = z;
    }
}

 12.4 随机构建二叉搜索树
算法导论很多章节都会讲随机算法在数据结构上的随机化。而且都是大段大段的证明，挺犀利。随机算法我个人打算单独花时间学习，因此涉及到的题目都在第二遍读算导的时候再做。
主要证明一棵有n个不同关键字的随机构建的二叉搜索树的期望高度为O(lgn)。主要随机搜索树的很多基本操作的时间复杂度都是O(lgn)。随机化的效率还是很高的，其实可以写个随机数据发生器，测试一下。