字符串编辑距离

字符串编辑距离

字符串的编辑距离，又称为Levenshtein距离，由俄罗斯的数学家Vladimir Levenshtein在1965年提出。是指利用字符操作，把字符串A转换成字符串B所需要的最少操作数。其中，字符操作包括：

• 删除一个字符     

• 插入一个字符     

• 修改一个字符     

例如对于字符串"if"和"iff"，可以通过插入一个'f'或者删除一个'f'来达到目的。

问题描述：给定两个字符串A和B，求字符串A至少经过多少步字符操作变成字符串B。

我们先以一个例子分析，比如eat变成tea。对于第一个字符，e != a，所以要想让这两个字符相等，有三种可以选择的办法

• 修改字符，将e直接变成a，需要走1步。
• 插入字符，在e的前面插入a，也需要走1步。
• 删除字符，将e删除，然后比较后面的与a，也需要走1步。

如果是 e==a，那么就可以直接跳过这个字符比较下面的字符，那么他们的距离也就是前面一步的举例了。

经过举例子分析，很容易发现这是一个动态规划问题，那么我们就按照动态规划的一套方法来求解。

1、维护一个dp数组，其中dp[i][j]表示s1[0]---s1[i]和s2[0]--s2[j]相同需要进行的最少步骤；

2、边界条件初始化，dp[i][0]=i，相当于将s1挨个变成空所要进行的步数，对于dp[0][j]=j同理；

3、状态转移方程，我们要得到dp[i][j]的值，假设s1[i-1]和s2[j-1]之前的都已经相等了，那么如果s1[i]==s2[j]，显然不需要进行操作，dp[i][j]==dp[i-1][j-1]；如果s1[i]!=s2[j]，那么到达dp[i][j]的就有三条路，分别从dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j]、dp[i][j-1]，对应的含义分别是修改字符、删除字符和插入字符，在三种操作下，经历的步数都要+1，所以我们只要找三者的最小值然后+1就可以了。

这个题目有一种巧妙的理解办法，就是画表格。画表格法在动态规划太有用了！！！特别是处理这种数组是二维的情况，可以直观的理解状态转移的过程，非常值得学习。

这里以s1="cafe"  s2="coffee"。表格如下：

（1）初始状态，这里要注意dp数组的长度要比字符串长度+1，因为要保存字符串为空的状态

		c	o	f	f	e	e
c
a
f
e

（2）边界条件初始化，

		c	o	f	f	e	e
	0	1	2	3	4	5	6
c	1
a	2
f	3
e	4

（3）状态转移

我们以3,3为例，开始计算。因为c==c，所以3，3格和2，2格相同，都为0。

对于3，4，因为c！=o，所以到达3，4格有三个方向，我们取以下三个值的最小值：

• 对角数字+1（对于3,4来说为2）
• 左方数字+1（对于3,4格来说为1）
• 上方数字+1（对于3,4格来说为3）

因此为格3,4为1

		c	o	f	f	e	e
	0	1	2	3	4	5	6
c	1	0	1
a	2
f	3
e	4

循环操作，推出下表

		c	o	f	f	e	e
	0	1	2	3	4	5	6
c	1	0	1	2	3	4	5
a	2	1	1	2	3	4	5
f	3	2	2	1	2	3	4
e	4	3	3	2	2	2	3

取右下角，得编辑距离为3

求解字符串编辑距离方法大概就是如此，想明白之后还是挺简单的。主要还是会通过表格来找状态转移过程。

代码如下：

public void mineditdistance(){
        String s1 = "cafe";
        String s2 = "coffee";
        int[][] dp = new int[s1.length()+1][s2.length()+1];
        //对dp数组初始化
        for ( int i = 0 ; i < dp.length ; i ++ ) dp[i][0] = i;
        for ( int j = 0 ; j < dp[0].length ; j ++ ) dp[0][j] = j;

        for ( int i = 1 ; i < dp.length ; i ++ ){
            for ( int j = 1 ; j < dp[0].length; j ++ ){
                if ( s1.charAt(i-1) == s2.charAt(j-1) ) dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
                else dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])+1;
            }
        }
        System.out.println(dp[dp.length-1][dp[0].length-1]);
    }
    public int min(int a, int b, int c){
        return Math.min(a,Math.min(b,c));
    }

      这个是面试时问的问题，在状态转移方程地方卡住了。回来好好又分析了一遍，颇有收获。

      字符串+极值  问题，第一个想到的就是用dp把。还有很多类似的问题，后续会慢慢总结。

      例题参考：https://blog.csdn.net/ac540101928/article/details/52786435